Verifica definizione limite successioni e topologia. Aiuto!
Ciao a tutti, sono uno studente del primo anno di Fisica.
Oggi, ripassando qualche esercizio in vista degli esami di gennaio, ho provato un paio di verifiche della definizione di limite ed ho avuto diversi problemi.
Ho usato l'eserciziario del Giusti e non mi è parso tanto chiaro sull'argomento
!
Qualcuno può darmi qualche indicazione sul cosa (come) fare? Fino ad oggi pomeriggio credevo di padroneggiare discretamente il concetto di limite ed invece..
Ho anche avuto dei dubbi su alcuni esercizi (apparentemente) banali di topologia.
Per esempio, vista la definizione di punto di frontiera e interno e tenendo conto della densità di Q in |R, un insieme del tipo E=([2,3] et Q) ha frontiera (interno) vuoto(pieno) o pieno (vuoto) ?
Maledetto classico :°.
Grazie in anticipo. Saluti, P.
Oggi, ripassando qualche esercizio in vista degli esami di gennaio, ho provato un paio di verifiche della definizione di limite ed ho avuto diversi problemi.
Ho usato l'eserciziario del Giusti e non mi è parso tanto chiaro sull'argomento
!Qualcuno può darmi qualche indicazione sul cosa (come) fare? Fino ad oggi pomeriggio credevo di padroneggiare discretamente il concetto di limite ed invece..
Ho anche avuto dei dubbi su alcuni esercizi (apparentemente) banali di topologia.
Per esempio, vista la definizione di punto di frontiera e interno e tenendo conto della densità di Q in |R, un insieme del tipo E=([2,3] et Q) ha frontiera (interno) vuoto(pieno) o pieno (vuoto) ?
Maledetto classico :°.
Grazie in anticipo. Saluti, P.
Risposte
Benvenuto nel forum. 
Perchè non posti direttamente qualche esercizio che hai provato a fare con qualche tuo tentativo? Parlare così in astratto di verifiche è un po' difficile: al massimo ti posso riscrivere la definizione, ma quella la trovi spiegata meglio su un buon libro di teoria...
Hai esempi tu da proporre o preferisci che diamo noi libero sfogo alla fantasia inventandoci limiti strambi
?
Buono studio
"FrederichN.":
Ciao a tutti, sono uno studente del primo anno di Fisica.
Oggi, ripassando qualche esercizio in vista degli esami di gennaio, ho provato un paio di verifiche della definizione di limite ed ho avuto diversi problemi.
Ho usato l'eserciziario del Giusti e non mi è parso tanto chiaro sull'argomento
Qualcuno può darmi qualche indicazione sul cosa (come) fare? Fino ad oggi pomeriggio credevo di padroneggiare discretamente il concetto di limite ed invece..
Perchè non posti direttamente qualche esercizio che hai provato a fare con qualche tuo tentativo? Parlare così in astratto di verifiche è un po' difficile: al massimo ti posso riscrivere la definizione, ma quella la trovi spiegata meglio su un buon libro di teoria...
Hai esempi tu da proporre o preferisci che diamo noi libero sfogo alla fantasia inventandoci limiti strambi
? Buono studio
A momento non ho niente sottomano, ma ricordo il limite:
[tex]$\lim_n \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}=0$[/tex]
Grazie mille Paolo
.
Detto fatto. Buona Notte.
[tex]$\lim_n \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}=0$[/tex]
Grazie mille Paolo
.Detto fatto
. Buona Notte.
@FredrcihN.
Per estendere la radice a tutto il radicando devi usare le parentesi graffe in luogo delle tonde.
Per estendere la radice a tutto il radicando devi usare le parentesi graffe in luogo delle tonde.
"FrederichN.":
A momento non ho niente sottomano, ma ricordo il limite:
[tex]lim_n \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}[/tex]
Caro FrederichN,
ma tu vuoi calcolare il limite (suppongo sia una successione, come da titolo, per cui $n->+oo$) di $sqrt(n+2)-sqrt(n+1)$ o vuoi verificare che il valore di tale limite è effettivamente $0$ (dovrebbe venire $0$ se non sbaglio...)?
"FrederichN.":
Grazie mille Paolo
E de che?
Buono studio
Verificare il limite tramite la definizione !
Effettivamente ho perso un [tex]=0[/tex] nel tragitto.
!Effettivamente ho perso un [tex]=0[/tex] nel tragitto
.
Mah, dunque vediamo un po'. Non ci giurerei che sia la strada corretta e soprattutto la più rapida ma spero almeno sia giusta.
$lim_(n to +oo) sqrt(n-1)-sqrt(n-2)=0$ equivale a scrivere
$forall epsilon >0, " " exists nu_0 >0 " tale che " n>=nu_0 => |sqrt(n-1)-sqrt(n-2)|
Quindi, fissiamo un $epsilon$ positivo e piccolo quanto vogliamo: posso scrivere $|sqrt(n-1)-sqrt(n-2)|
$|sqrt(n+1)+sqrt(n+2)|>1/(epsilon)$
Posso togliere il modulo a primo membro perchè la somma di due radici quadrate è senz'altro positiva
$sqrt(n+1)+sqrt(n+2)>1/(epsilon)$
Adesso noto che la radice quadrata è una funzione subadditiva; in poche parole si comporta un po' come il modulo (vd disuguaglianza triangolare) per cui si ha che $sqrt(x+y)<=sqrtx+sqrty$: letta al contrario questa disuguaglianza nel nostro caso diventa
$sqrt(n+1)+sqrt(n+2)>=sqrt(n+1+n+2)=sqrt(2n+3)$
L'intervallo in cui è verificata $sqrt(2n+3)>1/epsilon$ sarà anche soluzione di $sqrt(n+1)+sqrt(n+2)>1/(epsilon)$ (perchè $sqrt(n+1)+sqrt(n+2)>sqrt(2n+3)$: insomma, stiamo dicendo che se 3 è maggiore di 2 e 5 è maggiore di 3, allora a maggior ragione 5 è maggiore di 2
)
Quindi $sqrt(2n+3)>1/epsilon=> " elevando al quadrato " =>2n+3>=1/epsilon^2$ da cui infine $n>1/2(1/epsilon^2-3)$.
Decido di ribattezzare $nu_0=1/2(1/epsilon^2-3)$ (se proprio vuoi fare il figo lo prendi in parte intera, visto che $nu_0$ è supposto naturale) e ho finito, verificando la definizione di limite.
Chiaro ?
Se hai dubbi siamo qui. Ad maiora.
$lim_(n to +oo) sqrt(n-1)-sqrt(n-2)=0$ equivale a scrivere
$forall epsilon >0, " " exists nu_0 >0 " tale che " n>=nu_0 => |sqrt(n-1)-sqrt(n-2)|
Quindi, fissiamo un $epsilon$ positivo e piccolo quanto vogliamo: posso scrivere $|sqrt(n-1)-sqrt(n-2)|
$|sqrt(n+1)+sqrt(n+2)|>1/(epsilon)$
Posso togliere il modulo a primo membro perchè la somma di due radici quadrate è senz'altro positiva
$sqrt(n+1)+sqrt(n+2)>1/(epsilon)$
Adesso noto che la radice quadrata è una funzione subadditiva; in poche parole si comporta un po' come il modulo (vd disuguaglianza triangolare) per cui si ha che $sqrt(x+y)<=sqrtx+sqrty$: letta al contrario questa disuguaglianza nel nostro caso diventa
$sqrt(n+1)+sqrt(n+2)>=sqrt(n+1+n+2)=sqrt(2n+3)$
L'intervallo in cui è verificata $sqrt(2n+3)>1/epsilon$ sarà anche soluzione di $sqrt(n+1)+sqrt(n+2)>1/(epsilon)$ (perchè $sqrt(n+1)+sqrt(n+2)>sqrt(2n+3)$: insomma, stiamo dicendo che se 3 è maggiore di 2 e 5 è maggiore di 3, allora a maggior ragione 5 è maggiore di 2
)Quindi $sqrt(2n+3)>1/epsilon=> " elevando al quadrato " =>2n+3>=1/epsilon^2$ da cui infine $n>1/2(1/epsilon^2-3)$.
Decido di ribattezzare $nu_0=1/2(1/epsilon^2-3)$ (se proprio vuoi fare il figo lo prendi in parte intera, visto che $nu_0$ è supposto naturale) e ho finito, verificando la definizione di limite.
Chiaro
?Se hai dubbi siamo qui. Ad maiora.
@FrederichN.: Ho corretto un po' il sorgente TeX nel tuo post. Spero tu non me ne voglia.
L'intervallo in cui è verificata sarà anche soluzione di (perchè : insomma, stiamo dicendo che se 3 è maggiore di 2 e 5 è maggiore di 3, allora a maggior ragione 5 è maggiore di 2)
Ecco, primo dubbio, sortomi anche dal Giusti. Posso minorare arbitrariamente nel verificare la definizione di limite di una successione (=0)? Non equivale a verificare la definizione di un limite diverso (magari tendente ad un altro limite)?
Paolo sapresti aiutarmi con la domandina di topologia che ho postato sopra?
Ti ringrazio infinitamente e scusa la mia ignoranza.
Auguri, anche se un pò in ritardo ( o in anticipo, dipende dal sistema di riferimento
).@Gugo: Oh, ti ringrazio!
"FrederichN.":
Auguri, anche se un pò in ritardo ( o in anticipo, dipende dal sistema di riferimento
Questa è buona
"FrederichN.":
Ecco, primo dubbio, sortomi anche dal Giusti. Posso minorare arbitrariamente nel verificare la definizione di limite di una successione (=0)? Non equivale a verificare la definizione di un limite diverso (magari tendente ad un altro limite)?!
Certamente, minorare è lecito, soprattutto se serve. Non dico che bisogna sempre partire minorando, però spesso torna utile.
Direi che non ci sono problemi di limite, quello è e quello resta: ovviamente cambia "qualcosa" alla fine. Chiediamoci: che cosa cambia?
Ad esempio, consideriamo il caso di limite finito per un valore finito per funzioni reali di variabile reale (anche se le considerazioni che faccio si adattano facilmente anche agli altri casi, ti invito a pensarci): sia dunque $lim_(x to x_0) f(x)=l$.
Se risolviamo la disequazione con l'$epsilon$ (per intenderci) passando attraverso minorazioni, alla fine varierà il raggio dell'intorno sull'asse delle $x$, cioè il $delta_(epsilon)$. Ci sei fin qui? Questo tuttavia è irrilevante ai fini della definizione di limite: infatti non ti si chiede di trovare l' intorno di centro $x_0$ e di raggio $delta_(epsilon)$, ma di appurare che esiste un siffatto intorno.
Se minori, non troverai certo l'intorno migliore in assoluto, però sei sicuro che le immagini di tutti i punti di detto intorno cadono nell'intorno di $l$ di raggio $epsilon$. Non so, spero di essermi spiegato, se non hai capito dimmelo, magari proviamo con qualche esempio a chiarire le idee.
Take care
Ti ringrazio infinitamente e scusa la mia ignoranza.
Auguri, anche se un pò in ritardo ( o in anticipo, dipende dal sistema di riferimento
Auguri anche te
Non potevo sperare in una spiegazione migliore.
La matematica non finisce di stupirmi. Ti ringrazio ancora ed alla prossima .
La matematica non finisce di stupirmi. Ti ringrazio ancora ed alla prossima
.
"FrederichN.":
Non potevo sperare in una spiegazione migliore.
La matematica non finisce di stupirmi. Ti ringrazio ancora ed alla prossima
Figurati, è stato un piacere e sono contento che tu abbia capito. Se ci sono ancora dubbi non ti far problemi a chiedere.
P.S. Per topologia lascio la palla a qualcun altro
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