Verifica DEF. di limite

[brownbetty1]

Salve a tutti.

Devo verificare il limite $ lim_(x -> 0) (sin x) = 0 $ utilizzando la definizione. Ricavo la disequazione dall'implicazione finale $ |sin x| < t $ che sarà $ arcsin(-t) < x < arcsin(t) $ se $ 0 < t <= 1 $ e con queste premesse esisterà sicuramente almeno intorno completo di $ 0 $ di raggio $ d > 0 $ interamente contenuto in tale intervallo, verificando la definizione (questo è grossomodo il procedimento che fa anche il mio libro quando ci sono funzioni che richiedono una particolare restrizione a causa del loro dominio, cioè di scegliere $ t $ così limitato).

Tuttavia, nella definizione di limite si specifica proprio all'inizio la condizione $ AA t > 0 $, per cui la definizione per essere vera deve essere verificata anche per $ t > 1 $ ? Se si come ?

Grazie anticipatamente

[Paolo902]

Io ti suggerisco di notare che $|sin x| <= |x|$, per ogni $x in RR$ (eviti di andarti a incasinare con l'arcoseno etc).

[brownbetty1]

Ciao.

Scusa se te lo chiedo, ma come fai ad arrivare a quella disequazione ? E come verifichi quindi la DEF. di limite ?
Comunque ripropongo la domanda:

"brownbetty":
Tuttavia, nella definizione di limite si specifica proprio all'inizio la condizione $ AA t > 0 $, per cui la definizione per essere vera deve essere verificata anche per $ t > 1 $ ? Se si come ?

cioè mi capita spesso di vedere esercizi svolti in cui si fa questa restrizione di $ t $ per cui la DEF. è sicuramente vera. Ma i restanti casi non si verificano (in modo da verificare effettivamente la DEF. per $ AA t > 0 $) ?

[Paolo902]

"brownbetty":Scusa se te lo chiedo, ma come fai ad arrivare a quella disequazione ? E come verifichi quindi la DEF. di limite?

Non ti devi scusare, figurati. Comunque, quella disequazione secondo me è un'arma molto potente
Ci sono diversi modi per dimostrarla; è sicuramente evidente da un punto di vista grafico, almeno per $x$ molto grandi in valore assoluto. Se vuoi dimostrarla per bene in maniera elementare ti conviene distinguere un po' di casi; in alcuni, tieni presente la rappresentazione sul cerchio trigonometrico che potrebbe aiutarti.

Ad ogni modo, se diamo per buona quella disuguaglianza, il limite diventa ovvio. Fissato un arbitrario $epsilon>0$, vuoi trovare un $delta>0$ tale che $\forall x \in \RR$ se $0<|x-0| Ma si vede che basta prendere $delta=epsilon$ (al solito, $|sin x|<=|x|

"brownbetty":
Tuttavia, nella definizione di limite si specifica proprio all'inizio la condizione $ AA t > 0 $, per cui la definizione per essere vera deve essere verificata anche per $ t > 1 $ ? Se si come ?

Sì, certo: deve essere verificata per ogni $t$ (nelle mie notazioni $epsilon$) positivo. Ma ho fatto così, come puoi vedere... non credo di capito che cosa è che ti turba esattamente.

[Sk_Anonymous]

"Paolo90":[quote="brownbetty"]Scusa se te lo chiedo, ma come fai ad arrivare a quella disequazione ? E come verifichi quindi la DEF. di limite?

Non ti devi scusare, figurati. Comunque, quella disequazione secondo me è un'arma molto potente
Ci sono diversi modi per dimostrarla; è sicuramente evidente da un punto di vista grafico, almeno per $x$ molto grandi in valore assoluto. Se vuoi dimostrarla per bene in maniera elementare ti conviene distinguere un po' di casi; in alcuni, tieni presente la rappresentazione sul cerchio trigonometrico che potrebbe aiutarti.

Ad ogni modo, se diamo per buona quella disuguaglianza, il limite diventa ovvio. Fissato un arbitrario $epsilon>0$, vuoi trovare un $delta>0$ tale che $\forall x \in \RR$ se $0<|x-0| Ma si vede che basta prendere $delta=epsilon$ (al solito, $|sin x|<|x|

"brownbetty":
Tuttavia, nella definizione di limite si specifica proprio all'inizio la condizione $ AA t > 0 $, per cui la definizione per essere vera deve essere verificata anche per $ t > 1 $ ? Se si come ?

Sinceramente non riesco a capire che cosa vuol dire "la condizione $ AA t > 0 $" e mi viene un dubbio... hai studiato la definizione di limite? L'hai compresa?

[/quote]
Salve Paolo90. Una volta che hai dimostrato che la disuguaglianza $|sin x-0|0$ qualunque, è soddisfatta da un intorno del punto $0$, cioè, come ha detto l'utente, dall'insieme degli $x$ tali che $arcsin(-e)

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[Paolo902]

Sì, certo va bene anche così, a patto che precisi però che prendi $epsilon<1$ (e tanto basta perchè se $epsilon>1$ è evidente) e che l'arcoseno è monotono... tutte robe che faccio fatica a ricordare (troppo lavoro )!

Ad ogni modo, come ho scritto sopra

"Paolo90":Io ti suggerisco [...] (eviti di andarti a incasinare con l'arcoseno etc).

Ma è una mia opinione, ecco tutto. Ognuno è libero di procedere come meglio credere...

[Seneca1]

Bisogna cominciare ad abituarsi a queste mosse furbe in casi del genere. Concordo con Paolo.

[brownbetty1]

Ecco ora l'esercizio è chiarito (cercherò una dimostrazione di tale disuguaglianza, che aggiungo alle indispensabili triangolari).

Per quel dubbio sulla definizione di limite:

"Paolo90":Sì, certo va bene anche così, a patto che precisi però che prendi ϵ<1 (e tanto basta perchè se ϵ>1 è evidente) e che l'arcoseno è monotono... tutte robe che faccio fatica a ricordare (troppo lavoro )!

concordiamo che tutto quanto deve essere verificato per ogni $ AA ϵ>0 $. Ecco, forse la parte che mi mancava (nella vecchia dimostrazione del limite) è proprio quella in grassetto. Vediamo se è giusto questo ragionamento:
$ |sinx|<ϵ $ con $ ϵ>1$ equivale a dire che il $ sinx $ è sempre compreso in tale intervallo (essendo $ -1<=sinx<=1 $), per cui la disuguaglianza è sempre vera, ed allora la definizione è verificata per $ AA δ>0 $ e a me ne bastava almeno uno.

"Seneca":Bisogna cominciare ad abituarsi a queste mosse furbe in casi del genere. Concordo con Paolo.

Sicuramente è meglio la dimostrazione di Paolo, però almeno con quella vecchia mi sono tolto un bel dubbio !

[brownbetty1]

Rieccomi. Spero di non di non approfittarne. Ho anche questo limite da verificare $ lim_(x -> 1)sqrt(x) = 1 $. Nei casi $ 0<ϵ<1 $ ed $ ϵ=1 $ il limite è verificato osservando la disequazione $ (1-ϵ)^2 1$ sembra che il limite non sia mai verificato (è come se l'intervallo si spostasse a destra, lasciando completamente fuori l'1).

Grazie !

[DajeForte]

"brownbetty":Per quel dubbio sulla definizione di limite:
[quote="Paolo90"]Sì, certo va bene anche così, a patto che precisi però che prendi ϵ<1 (e tanto basta perchè se ϵ>1 è evidente) e che l'arcoseno è monotono... tutte robe che faccio fatica a ricordare (troppo lavoro )!

concordiamo che tutto quanto deve essere verificato per ogni $ AA ϵ>0 $. Ecco, forse la parte che mi mancava (nella vecchia dimostrazione del limite) è proprio quella in grassetto. Vediamo se è giusto questo ragionamento:
$ |sinx|<ϵ $ con $ ϵ>1$ equivale a dire che il $ sinx $ è sempre compreso in tale intervallo (essendo $ -1<=sinx<=1 $), per cui la disuguaglianza è sempre vera, ed allora la definizione è verificata per $ AA δ>0 $ e a me ne bastava almeno uno.[/quote]

Giusto ma ti vorrei precisare una cosa: la condizione deve valere per ogni $verepsilon >0$. Ma se te la hai verificata per un particolare $varepsilon$ allora è automaticamente verificata per i $varepsilon$ più grandi.

Mi spiego meglio. Hai verificato che per $verepsilon = 1/2$ esiste un $delta$ tale che in $(x_0-delta,x_0+delta)$ la funzione è bloccata di $varepsilon=1/2$. Allora se prendi un $varepsilon > 1/2$ allora quell'intorno che hai trovato prima ti fa automaticamente verificare la condizione.

Chiaro?

[brownbetty1]

Ciao. Quindi (per la verifica del seno) quell'intorno di $ 0 $ di raggio $ δ>0 $ essendo contenuto nell'intervallo con $ 0<ε<=1 $ è anche contenuto in quello più grande con $ ε>1 $ poiché quest'ultimo contiene il penultimo (insomma graficamente è più facile da spiegare).

Se è giusto questo ragionamento, allora è anche verificato l'altro limite che ho proposto !