Verifica decrescenza funzione che ha limite e
si ha la seguente funzione
Dimostrarne la decrescenza usando la disuguaglianza di bernoulli.
tentata risoluzione: la tesi può riscriversi come
Dividiamo entrambi i membri per 1+1/n
Aggiunto 13 minuti più tardi:
la disuguaglianza di bernoulli
Ponendo x = 1/n si otterrà
Tutto quindi si ridurrebbe a dimostrare che quella mega frazione al secondo membro è > 2.
Si noti che aumentando il denominatore si ottiene evidentemente una quantità più piccola, cioè
Aggiunto 6 minuti più tardi:
il secondo membro si riduce in
piu proseguo piu la tesi mi sembra lontana, aiutatemi...
[math]\(1+\frac{1}{n}\)^{n+1} [/math]
che ha per limite e.Dimostrarne la decrescenza usando la disuguaglianza di bernoulli.
tentata risoluzione: la tesi può riscriversi come
[math]\(1+\frac{1}{n}\)^{n+1}\(1+\frac{1}{n}\) >\(1+\frac{1}{n+1}\)^{n+2} [/math]
Dividiamo entrambi i membri per 1+1/n
[math]\(1+\frac{1}{n}\)^n >\frac{\(1+\frac{1}{n+1}\)^{n+2}}{\(1+\frac{1}{n}\)[/math]
Aggiunto 13 minuti più tardi:
la disuguaglianza di bernoulli
[math](1+x)^n>=1+nx [/math]
Ponendo x = 1/n si otterrà
[math] \(1+\frac{1}{n}\)^{n}>=1+n\frac{1}{n}=2 [/math]
Tutto quindi si ridurrebbe a dimostrare che quella mega frazione al secondo membro è > 2.
Si noti che aumentando il denominatore si ottiene evidentemente una quantità più piccola, cioè
[math]\frac{\(1+\frac{1}{n+1}\)^{n+2}}{\(1+\frac{1}{n}\)} >\frac{\(1+\frac{1}{n+1}\)^{n+2}}{\(1+\frac{1}{n}\)^{n+2]} [/math]
Aggiunto 6 minuti più tardi:
il secondo membro si riduce in
[math]\(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\)^{n+2}=\(\frac{n^2+2n}{(n+1)^2}\)}^{n+2}[/math]
piu proseguo piu la tesi mi sembra lontana, aiutatemi...
Risposte
Io ti scrivo la dimostrazione che uso a lezione, poi vedi tu.
Per prima cosa, ricordiamo la formula del binomio del tuo omonimo (:asd)
dove
e poiché
Facciamo ora una considerazione sui coefficienti binomiali: si ha, dalla definizione,
e quindi
Ora, dal momento che la disuguaglianza di Bernoulli permette di affermare che
segue anche che
da cui
e anche
Ritornando al calcolo iniziale avremo allora
che prova quanto volevi dimostrare.
Aggiunto 12 minuti più tardi:
Azz, mi sono reso conto che ho dimostrato che
Per prima cosa, ricordiamo la formula del binomio del tuo omonimo (:asd)
[math](1+x)^n=\sum_{k=0}^n\left(\array n \\ k\right)\ x^k[/math]
dove
[math]\left(\array n \\ k\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}[/math]
è il coefficiente binomiale. Ora possiamo scrivere[math]\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}\left(\begin{array}{c} n+1 \\ k\end{array}\right)\ \left(\frac{1}{n+1}\right)^k\\
=\sum_{k=0}^{n1}\left(\begin{array}{c} n+1 \\ k\end{array}\right)\ \left(\frac{1}{n+1}\right)^k+\left(\begin{array}{c} n+1 \\ n+1\end{array}\right)\ \left(\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}[/math]
=\sum_{k=0}^{n1}\left(\begin{array}{c} n+1 \\ k\end{array}\right)\ \left(\frac{1}{n+1}\right)^k+\left(\begin{array}{c} n+1 \\ n+1\end{array}\right)\ \left(\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}[/math]
e poiché
[math]\left(\begin{array}{c} n+1 \\ n+1\end{array}\right)=1,\quad \left(\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}>0[/math]
si ha pure[math]>\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} n+1 \\ k\end{array}\right)\ \left(\frac{1}{n+1}\right)^k[/math]
Facciamo ora una considerazione sui coefficienti binomiali: si ha, dalla definizione,
[math]\left(\begin{array}{c} n+1 \\ k\end{array}\right)=\frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}=\frac{(n+1)\ n!}{k!(n+1-k)(n-k)!}=\frac{n+1}{n+1-k}\ \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)[/math]
e quindi
[math]\left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)=\frac{n+1-k}{n+1}\ \left(\begin{array}{c} n+1 \\ k\end{array}\right)=\left(1-\frac{k}{n+1}\right)\ \left(\begin{array}{c} n+1 \\ k\end{array}\right)[/math]
Ora, dal momento che la disuguaglianza di Bernoulli permette di affermare che
[math]\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^k\geq 1-\frac{k}{n+1}[/math]
segue anche che
[math]\left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)=\left(1-\frac{k}{n+1}\right)\ \left(\begin{array}{c} n+1 \\ k\end{array}\right)\leq\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^k\ \left(\begin{array}{c} n+1 \\ k\end{array}\right)[/math]
da cui
[math]\left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)\leq\left(\frac{n}{n+1}\right)^k\ \left(\begin{array}{c} n+1 \\ k\end{array}\right)[/math]
e anche
[math]\left(\begin{array}{c} n+1 \\ k\end{array}\right)\geq \frac{(n+1)^k}{n^k}\ \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)[/math]
Ritornando al calcolo iniziale avremo allora
[math]\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}>\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} n+1 \\ k\end{array}\right)\ \left(\frac{1}{n+1}\right)^k\\
\geq\sum_{k=0}^{n}\frac{(n+1)^k}{n^k}\ \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)\ \left(\frac{1}{n+1}\right)^k=\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)\ \frac{1}{n^k}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/math]
\geq\sum_{k=0}^{n}\frac{(n+1)^k}{n^k}\ \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)\ \left(\frac{1}{n+1}\right)^k=\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)\ \frac{1}{n^k}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/math]
che prova quanto volevi dimostrare.
Aggiunto 12 minuti più tardi:
Azz, mi sono reso conto che ho dimostrato che
[math]\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}[/math]
è crescente. Se aspetti oggi pomeriggio, ti risolvo il tuo problema.
sicuro non c'è strada un pò piu facile? Nel modo in cui stavo pensando io non c'è possibilità di riuscita?
Si c'è, utilizzando la diseguaglianza di Bernoulli! :P Ora ti allego l'immagine con la dimostrazione e mi fai sapere :) >>> http://www.megaupload.com/?d=PNCJ8CSK
Adry, una nota a ciò che hai scritto:
per ogni numero naturale n, quindi è anche maggiore di -1. non devi fare nessuna "imposizione": quella cosa è vera.
[math]\frac{1}{n(n+1)}>0[/math]
per ogni numero naturale n, quindi è anche maggiore di -1. non devi fare nessuna "imposizione": quella cosa è vera.
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