Verifica convergenza uniforme successione di funzioni
ciao a tutti,
ho dubbi nel capire la risoluzione di questo es.:
data la successione di funzioni:
$ fn(t) = (nt) / (1 + n^2t^2)$ , con $n \geq 1$
verificare se la successione converge uniformemente o meno in $t ∈ [-1;1] $.
al fine di verificare la convergenza uniforme, il sup in $t ∈ [-1;1] $ della funzione $ | f(t) - fn(t) | -> 0$.
per determinare il sup, si calcola la derivata prima della successione e si nota che si annulla in $ t = +- (1/n) $.
di qui: come trovare il sup? grazie
ho dubbi nel capire la risoluzione di questo es.:
data la successione di funzioni:
$ fn(t) = (nt) / (1 + n^2t^2)$ , con $n \geq 1$
verificare se la successione converge uniformemente o meno in $t ∈ [-1;1] $.
al fine di verificare la convergenza uniforme, il sup in $t ∈ [-1;1] $ della funzione $ | f(t) - fn(t) | -> 0$.
per determinare il sup, si calcola la derivata prima della successione e si nota che si annulla in $ t = +- (1/n) $.
di qui: come trovare il sup? grazie
Risposte
Beh dai che razza di domanda. Hai fatto il 99% dell'esercizio e adesso te ne esci così? Se ci ragioni mezzo secondo capisci come trovare il tuo sup: devi solo valutare la funzione \(f_n=f_n(t)\) in un punto. Quale sarà questo punto?!?
sostituendo si ha : $ fn(t) = (n (1/n))/(1 + n^2(1/n^2)) = 1/2 $ , quindi il sup della funzione differenza si ha in corrispondenza di $t = 1/2$, che non tende a zero.. quindi non converge uniformemente.
sorry, ho cominciato questa settimana, mi bloccavo su questo passaggio..
sorry, ho cominciato questa settimana, mi bloccavo su questo passaggio..
Ma hai capito cosa stai facendo? Mi raccomando, questo è importante. Fare le cose a macchinetta è il miglior modo per sbagliare clamorosamente.
si, sto trovando il sup del modulo della funzione differenza, ovvero la max distanza tra la successione di funzioni e la somma parziale delle funzioni della successione al tendere di $ n -> + ∞ $.. per far ciò, occorre prendere in considerazione il valore di t in cui la funzione n-esima della successione è massima, in altre parole il massimo della successione di funzioni.. in corrispondenza di quel punto la d tra le due successioni non potrà che essere massima.. sbaglio?
Eh vedi, ci sono delle imprecisioni. Tu devi calcolare il sup di *questa* funzione:
\[
\lvert f_n(t)-f(t)\rvert.\]
Nota il valore assoluto, che nella pratica ti crea la seccatura di distinguere dove l'argomento è positivo e dove è negativo.
\[
\lvert f_n(t)-f(t)\rvert.\]
Nota il valore assoluto, che nella pratica ti crea la seccatura di distinguere dove l'argomento è positivo e dove è negativo.
dissonance dove sbaglio? scusa non ho ancora dimestichezza..
inoltre vorrei chiarire un altro dubbio.. nel caso in cui la funzione limite della successione $ F(x) = lim_(n->∞) fn(x) $ non sia continua nell'intervallo considerato, allora la successione di funzioni non converge nè uniformemente nè puntualmente? Dato che la il modulo della funzione differenza non ammette sup in questo caso.. giusto?
Ciao, penso che sul primo quesito dissonance ti abbia già risposto precedentemente, quello che fai non è giusto per il semplice motivo che non conosci chi è $f$, limite puntuale della tua successione.
Per la seconda domanda.. credo tu abbia una grossa confusione in testa. Se non convergesse puntualmente , allora, chi sarebbe $F$ ?
Ti ricordo che una successione di funzioni $(f_n : A sube RR -> RR)_(n\inNN)$ converge puntualmente ad $f : A sube RR -> RR$ se $\forall x \in A$ $\forall \epsilon >0 \exists \nu \in NN : \forall n>= \nu => |f_n(x)-f(x)| <= \epsilon$.
In altri termini, se $\forall x \in A : \exists lim_ņ f_n(x)=f(x) \in RR$.
Si dirà che $ (f_n : A sube RR -> RR)_(n\inNN) $ converge uniformemente a $ f : A sube RR -> RR $ se $ \forall \epsilon >0 \exists \nu \in NN : \forall n>= \nu , \forall x \in A=> |f_n(x)-f(x)| <= \epsilon $. Che è equivalente a richiedere che $ \forall \epsilon >0 \exists \nu \in NN : \forall n>= \nu , \in A=> su$$p|f_n(x)-f(x)| <= \epsilon $.
Il che è ancora equivalente a richiedere che $ \exists lim_ņ sUp|f_n(x)-f(x)|=0 $.
Inoltre, vi è un risultato che ti invito a dimostrare che è il seguente :
Se $(f_n)_n$ continue, $f$ limite uniforme. Allora $f$ è continua.
Per la seconda domanda.. credo tu abbia una grossa confusione in testa. Se non convergesse puntualmente , allora, chi sarebbe $F$ ?
Ti ricordo che una successione di funzioni $(f_n : A sube RR -> RR)_(n\inNN)$ converge puntualmente ad $f : A sube RR -> RR$ se $\forall x \in A$ $\forall \epsilon >0 \exists \nu \in NN : \forall n>= \nu => |f_n(x)-f(x)| <= \epsilon$.
In altri termini, se $\forall x \in A : \exists lim_ņ f_n(x)=f(x) \in RR$.
Si dirà che $ (f_n : A sube RR -> RR)_(n\inNN) $ converge uniformemente a $ f : A sube RR -> RR $ se $ \forall \epsilon >0 \exists \nu \in NN : \forall n>= \nu , \forall x \in A=> |f_n(x)-f(x)| <= \epsilon $. Che è equivalente a richiedere che $ \forall \epsilon >0 \exists \nu \in NN : \forall n>= \nu , \in A=> su$$p|f_n(x)-f(x)| <= \epsilon $.
Il che è ancora equivalente a richiedere che $ \exists lim_ņ sUp|f_n(x)-f(x)|=0 $.
Inoltre, vi è un risultato che ti invito a dimostrare che è il seguente :
Se $(f_n)_n$ continue, $f$ limite uniforme. Allora $f$ è continua.
ciao grazie per la risposta
[strike]preso un $ x_0 ∈ I $ in cui la funzione limite non è $ F ∈ C^0 (x0) $ come si comporta la convergenza puntuale?[/strike]
ho cancellato, in effetti se la somma della serie non è continua in T $\Rightarrow$ la serie non converge uniformemente in T. ( T intervallo)
[strike]preso un $ x_0 ∈ I $ in cui la funzione limite non è $ F ∈ C^0 (x0) $ come si comporta la convergenza puntuale?[/strike]
ho cancellato, in effetti se la somma della serie non è continua in T $\Rightarrow$ la serie non converge uniformemente in T. ( T intervallo)
ho due domande:
1. perchè la convergenza uniforme è definita con tale aggettivo? stessa domanda per la convergenza puntuale
2. graficamente: qual'è la differenza tra queste due convergenze? Nel caso della convergenza uniforme le funzioni della successione NON si allontanano dalla funzione limite se non per una distanza maggiore di $\epsilon$, stesso discorso per intervalli di convergenza puntuale anche se, in questo caso, in ogni punto si dovrà intervenire con un diverso $ n = n(\epsilon,x)$, appunto $n(x)$. Più che altro, cosa fa intuire, graficamente, che la convergenza uniforme su un dato intervallo di una serie di funzioni $ \Rightarrow $ convergenza puntuale?
grazie
1. perchè la convergenza uniforme è definita con tale aggettivo? stessa domanda per la convergenza puntuale
2. graficamente: qual'è la differenza tra queste due convergenze? Nel caso della convergenza uniforme le funzioni della successione NON si allontanano dalla funzione limite se non per una distanza maggiore di $\epsilon$, stesso discorso per intervalli di convergenza puntuale anche se, in questo caso, in ogni punto si dovrà intervenire con un diverso $ n = n(\epsilon,x)$, appunto $n(x)$. Più che altro, cosa fa intuire, graficamente, che la convergenza uniforme su un dato intervallo di una serie di funzioni $ \Rightarrow $ convergenza puntuale?
grazie
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