Verifica convergenza uniforme di una succesione
salve a tutti, visto che tra una settimana dovrò sostenere l'esame di analisi mi chiedevo se qualcuno di voi potrebbe darmi un consiglio su come svolgere questo esercizio:
[tex]$\frac{n^2\ t\ e^{-n^2\ t}}{1+n^4}$[/tex]
devo verificare che questa successione converga uniformemente in [tex](0;2)[/tex] e [tex](0;+\infty)[/tex] e verificare l'integrabilità in [tex](0;\frac{1}{2})[/tex].
grazie anticipatamente
[tex]$\frac{n^2\ t\ e^{-n^2\ t}}{1+n^4}$[/tex]
devo verificare che questa successione converga uniformemente in [tex](0;2)[/tex] e [tex](0;+\infty)[/tex] e verificare l'integrabilità in [tex](0;\frac{1}{2})[/tex].
grazie anticipatamente
Risposte
Ho aggiustato un po' il codice TeX con i miei superpoteri di moderatore. 
Ad ogni modo, hai qualche idea su come risolvere l'esercizio?
Ad ogni modo, hai qualche idea su come risolvere l'esercizio?
ciao!!!!spero possa utilizzare i tuoi super poteri anche per rendermi più semplice la comprensione di questo esercizio.
penso che questa successione tenda a zero per tutti i t maggiori o uguali a zero.Per avere convergenza uniforme il lim con n che tende all'infinito del sup di Fn(x)-f(x) dovrebbe essere uguale a zero. essendo la funzione limite tendente a zero posso calcolare la derivata rispetto t e trovarmi t che in questo caso se non sbaglio è uguale a
[tex]$1/n^2$[/tex] che dovrebbe essere il punto di mass il punto più lontano dall'origine è per n=1 poi le fn decrescono.sostituendo nella successione iniziale il valore di t il limite con n che tende all'infinito è pari a zero, quindi dovrebbe convergere sia in( 0 2 )che in( 0 +infinito). Spero di non aver detto troppe castronerie nel giro di pochi secondi,è per quello che non ho espresso la mia idea a riguardo.
penso che questa successione tenda a zero per tutti i t maggiori o uguali a zero.Per avere convergenza uniforme il lim con n che tende all'infinito del sup di Fn(x)-f(x) dovrebbe essere uguale a zero. essendo la funzione limite tendente a zero posso calcolare la derivata rispetto t e trovarmi t che in questo caso se non sbaglio è uguale a
[tex]$1/n^2$[/tex] che dovrebbe essere il punto di mass il punto più lontano dall'origine è per n=1 poi le fn decrescono.sostituendo nella successione iniziale il valore di t il limite con n che tende all'infinito è pari a zero, quindi dovrebbe convergere sia in( 0 2 )che in( 0 +infinito). Spero di non aver detto troppe castronerie nel giro di pochi secondi,è per quello che non ho espresso la mia idea a riguardo.
Beh, mi pare tutto fatto bene; devi limare un po' i particolari.
L'insieme di convergenza è [tex]$[0,+\infty[$[/tex] e la funzione limite è [tex]$f(x)=0$[/tex].
Per controllare se la convergenza è uniforme in [tex]$[0,+\infty[$[/tex] devi controllare se è infinitesima la successione di termine generale [tex]$M_n:=\sup_{[0,+\infty[} |f_n-f|$[/tex]: visto che [tex]$f$[/tex] è nulla e che ogni [tex]$f_n$[/tex] è non negativa in [tex]$[0,+\infty[$[/tex], hai [tex]$M_n=\sup_{[0,+\infty[} f_n$[/tex]; inoltre, visto che ogni [tex]$f_n$[/tex] è continua ed infinitesima in [tex]$+\infty$[/tex], l'estremo superiore è in realtà un massimo assoluto, sicché [tex]$M_n=\max_{[0,+\infty[} f_n$[/tex].
Visto che le [tex]$f_n$[/tex] sono di classe [tex]$C^\infty$[/tex], il massimo assoluto [tex]$M_n$[/tex] si calcola con le usuali tecniche di Calcolo Differenziale e si trova che [tex]$M_n=f_n\left( \frac{1}{n^2} \right) =\frac{1}{e(1+n^4)}$[/tex]; visto che [tex]$\lim_n M_n =0$[/tex], allora la convergenza della tua successione è uniforme in [tex]$[0,+\infty[$[/tex].
Ovviamente la convergenza rimane uniforme in ogni sottoinsieme di [tex]$[0,+\infty[$[/tex], cosicché la tua successione è uniformemente convergente pure in [tex]$[0,2] \subseteq [0,+\infty[$[/tex].
L'insieme di convergenza è [tex]$[0,+\infty[$[/tex] e la funzione limite è [tex]$f(x)=0$[/tex].
Per controllare se la convergenza è uniforme in [tex]$[0,+\infty[$[/tex] devi controllare se è infinitesima la successione di termine generale [tex]$M_n:=\sup_{[0,+\infty[} |f_n-f|$[/tex]: visto che [tex]$f$[/tex] è nulla e che ogni [tex]$f_n$[/tex] è non negativa in [tex]$[0,+\infty[$[/tex], hai [tex]$M_n=\sup_{[0,+\infty[} f_n$[/tex]; inoltre, visto che ogni [tex]$f_n$[/tex] è continua ed infinitesima in [tex]$+\infty$[/tex], l'estremo superiore è in realtà un massimo assoluto, sicché [tex]$M_n=\max_{[0,+\infty[} f_n$[/tex].
Visto che le [tex]$f_n$[/tex] sono di classe [tex]$C^\infty$[/tex], il massimo assoluto [tex]$M_n$[/tex] si calcola con le usuali tecniche di Calcolo Differenziale e si trova che [tex]$M_n=f_n\left( \frac{1}{n^2} \right) =\frac{1}{e(1+n^4)}$[/tex]; visto che [tex]$\lim_n M_n =0$[/tex], allora la convergenza della tua successione è uniforme in [tex]$[0,+\infty[$[/tex].
Ovviamente la convergenza rimane uniforme in ogni sottoinsieme di [tex]$[0,+\infty[$[/tex], cosicché la tua successione è uniformemente convergente pure in [tex]$[0,2] \subseteq [0,+\infty[$[/tex].
E per verificare se questa successione è integrabile termine a termine come svolgeresti l'integrale?
Grazie tante per l'aiuto,purtroppo le mie basi di matematica fanno acqua da tutte le parti
Grazie tante per l'aiuto,purtroppo le mie basi di matematica fanno acqua da tutte le parti
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