Verifica convergenza di funzioni a 2 variabili

Vincent2
Salve a tutti! Ho qualche dubbio sulla verifica di alcuni limiti.

Verificare se la seguente funzione è continua

$f(x,y) = (x^2+y^2)/(|x|+|y|) se x,y non = 0,0 $ altrimenti $0,0$

Dall'espressione della funzione basta verificare se il limite della funzione è uguale a 0,0.
Vi assicuro che non ci hanno spiegato come calcolarli, ma solo limitati a verificare la loro esistenza usando il metodo degli assi coordinati e quello della restrizione alla retta; ordunque

$f(x,mx) = (x^2+m^2x^2)/(|x|+|mx|)$ ciò è $x(1+m)$
Ma non riesco a capire qui se il limite dipende o meno da m; la sua presenza nell'espressione mi farebbe dire subito SI, ma sono un pò scettico.

Ad ogni modo, continuo con la seconda prova
$f(x,0) = x^2/|x| = x -> 0$
$f(0,y) = y^2/|y| = y -> 0$

I limiti sono uguali

La funzione è dunque continua in tal punto?
thank you!

Risposte
Sk_Anonymous
Dovresti cercare di minorare la funzione in un intorno dell'origine con una funzione che tende a zero. Ti consiglio la disuguaglianza triangolare.

Vincent2
Grazie per la risposta...ma non dovrei maggiorarla? Minorarla serve quando devo dimostrare che la funzione non ha limite in quel punto!

Inoltre, non ho ancora capito se quel limite dipende o meno da m

Sk_Anonymous
Scusa, intendevo dire maggiorare. Quel limite non dipende da m, vale sempre zero, anche se il tuo procedimento lascia molto a desiderare.
Il problema è che non basta fare vedere che quelle restrizioni tendono tutte a zero per concludere che il limite è zero.
Come ti ho scritto, devi cercare di maggiorare ricordando la seguente relazione:
$|x| + |y| >= sqrt(x^2 + y^2)$

Vincent2
Grazie per la risposta, proverò con il tuo consiglio.
Comunque io usando questi 3 metodi speravo di dimostrare la NON esistenza del limite, e che quindi $f$ non era continua in quel punto.

Come calcolare il limite poi, è un altro paio di maniche.

Sk_Anonymous
Scusa, più correttamente mi riferivo al tuo formalismo, non al tuo procedimento.

Vincent2
Scusami ma non ti seguo, cosa intendi?

Sk_Anonymous
Per esempio $x^2/|x| = x$ è falso, a meno che $x > 0$. Anche se, effettivamente, per considerazioni di simmetria potresti limitare lo studio al primo quadrante. Ma non è stato detto.

Vincent2
Ciao ho ripreso in mano questo limite, usando il tuo suggerimento l'ho risolto così

$|x|+|y|>=sqrt(x^2+y^2)$
quindi ho

$1>=sqrt(x^2+y^2)/(|x|+|y|)$

$sqrt(x^2+y^2)>=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)$

Ho maggiorato la funzione con la radice dei quadrati, che tende chiaramente a 0. Quindi anche la funzione che ho in mano tende a 0.

Vincent2
Vi chiedo gentilmente di guardare anche questo, così verifico se ho capito

$lim_((x,y)->0,0)(1-cosx*log(1+((y^2)/(x^2+y^2))))$

Il problema è nella funzione interna al logaritmo $1+((y^2)/(x^2+y^2))$ = $(x^2+2y^2)/(x^2+y^2) <= (x^2+2y^2)->0$

Quindi ho logaritmo di qualcosa che tende a 0 che fa 0, e limite di $1-cosx$ che in 0 fa proprio 0. Il limite quindi è 0

Ma è così facile maggiorare?

$(1-e^(x^2+y^2))/(sqrt(x^2+y^2))$

Anche qui si ripete la storia?

$(1-e^(x^2+y^2))/(sqrt(x^2+y^2))<=(1-e^(x^2+y^2)) -> 0?$ Anche questo fa 0?

enr87
"Vincent":
Vi chiedo gentilmente di guardare anche questo, così verifico se ho capito

$lim_((x,y)->0,0)(1-cosx*log(1+((y^2)/(x^2+y^2))))$

Il problema è nella funzione interna al logaritmo $1+((y^2)/(x^2+y^2))$ = $(x^2+2y^2)/(x^2+y^2) <= (x^2+2y^2)->0$

Quindi ho logaritmo di qualcosa che tende a 0 che fa 0, e limite di $1-cosx$ che in 0 fa proprio 0. Il limite quindi è 0

Ma è così facile maggiorare?


secondo te è maggiore n oppure n/k con k

Vincent2
Orco cane,hai ragione!
Mi sono preoccupato di togliere il denominatore senza fare alcuna considerazione su numeratore e denominatore!

In questo caso però $x+2y^2> x^2+y^2$ quindi maggiorare togliendo il denominatore ha senso...vero?

enr87
secondo te $ x^2 + y^2 > 1$ per x,y che tende a 0,0 ?

Vincent2
Scusa ma non ho capito da dove viene fuori questa disequazione

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