Verifica convergenza di funzioni a 2 variabili

[Vincent2]

Salve a tutti! Ho qualche dubbio sulla verifica di alcuni limiti.

Verificare se la seguente funzione è continua

$f(x,y) = (x^2+y^2)/(|x|+|y|) se x,y non = 0,0 $ altrimenti $0,0$

Dall'espressione della funzione basta verificare se il limite della funzione è uguale a 0,0.
Vi assicuro che non ci hanno spiegato come calcolarli, ma solo limitati a verificare la loro esistenza usando il metodo degli assi coordinati e quello della restrizione alla retta; ordunque

$f(x,mx) = (x^2+m^2x^2)/(|x|+|mx|)$ ciò è $x(1+m)$
Ma non riesco a capire qui se il limite dipende o meno da m; la sua presenza nell'espressione mi farebbe dire subito SI, ma sono un pò scettico.

Ad ogni modo, continuo con la seconda prova
$f(x,0) = x^2/|x| = x -> 0$
$f(0,y) = y^2/|y| = y -> 0$

I limiti sono uguali

La funzione è dunque continua in tal punto?
thank you!

[Sk_Anonymous]

Dovresti cercare di minorare la funzione in un intorno dell'origine con una funzione che tende a zero. Ti consiglio la disuguaglianza triangolare.

[Vincent2]

Grazie per la risposta...ma non dovrei maggiorarla? Minorarla serve quando devo dimostrare che la funzione non ha limite in quel punto!

Inoltre, non ho ancora capito se quel limite dipende o meno da m

[Sk_Anonymous]

Scusa, intendevo dire maggiorare. Quel limite non dipende da m, vale sempre zero, anche se il tuo procedimento lascia molto a desiderare.
Il problema è che non basta fare vedere che quelle restrizioni tendono tutte a zero per concludere che il limite è zero.
Come ti ho scritto, devi cercare di maggiorare ricordando la seguente relazione:
$|x| + |y| >= sqrt(x^2 + y^2)$

[Vincent2]

Grazie per la risposta, proverò con il tuo consiglio.
Comunque io usando questi 3 metodi speravo di dimostrare la NON esistenza del limite, e che quindi $f$ non era continua in quel punto.

Come calcolare il limite poi, è un altro paio di maniche.

[Sk_Anonymous]

Scusa, più correttamente mi riferivo al tuo formalismo, non al tuo procedimento.

[Vincent2]

Scusami ma non ti seguo, cosa intendi?

[Sk_Anonymous]

Per esempio $x^2/|x| = x$ è falso, a meno che $x > 0$. Anche se, effettivamente, per considerazioni di simmetria potresti limitare lo studio al primo quadrante. Ma non è stato detto.

[Vincent2]

Ciao ho ripreso in mano questo limite, usando il tuo suggerimento l'ho risolto così

$|x|+|y|>=sqrt(x^2+y^2)$
quindi ho

$1>=sqrt(x^2+y^2)/(|x|+|y|)$

$sqrt(x^2+y^2)>=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)$

Ho maggiorato la funzione con la radice dei quadrati, che tende chiaramente a 0. Quindi anche la funzione che ho in mano tende a 0.

[Vincent2]

Vi chiedo gentilmente di guardare anche questo, così verifico se ho capito

$lim_((x,y)->0,0)(1-cosx*log(1+((y^2)/(x^2+y^2))))$

Il problema è nella funzione interna al logaritmo $1+((y^2)/(x^2+y^2))$ = $(x^2+2y^2)/(x^2+y^2) <= (x^2+2y^2)->0$

Quindi ho logaritmo di qualcosa che tende a 0 che fa 0, e limite di $1-cosx$ che in 0 fa proprio 0. Il limite quindi è 0

Ma è così facile maggiorare?

$(1-e^(x^2+y^2))/(sqrt(x^2+y^2))$

Anche qui si ripete la storia?

$(1-e^(x^2+y^2))/(sqrt(x^2+y^2))<=(1-e^(x^2+y^2)) -> 0?$ Anche questo fa 0?

[enr87]

"Vincent":Vi chiedo gentilmente di guardare anche questo, così verifico se ho capito

$lim_((x,y)->0,0)(1-cosx*log(1+((y^2)/(x^2+y^2))))$

Il problema è nella funzione interna al logaritmo $1+((y^2)/(x^2+y^2))$ = $(x^2+2y^2)/(x^2+y^2) <= (x^2+2y^2)->0$

Quindi ho logaritmo di qualcosa che tende a 0 che fa 0, e limite di $1-cosx$ che in 0 fa proprio 0. Il limite quindi è 0

Ma è così facile maggiorare?

secondo te è maggiore n oppure n/k con k

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[Vincent2]

Orco cane,hai ragione!
Mi sono preoccupato di togliere il denominatore senza fare alcuna considerazione su numeratore e denominatore!

In questo caso però $x+2y^2> x^2+y^2$ quindi maggiorare togliendo il denominatore ha senso...vero?

[enr87]

secondo te $ x^2 + y^2 > 1$ per x,y che tende a 0,0 ?

[Vincent2]

Scusa ma non ho capito da dove viene fuori questa disequazione