Verifica convegenza di una serie, con parametro.
Buongiorno, ho la seguente serie, dove mi viene chiesto di calcolare la covergenza semplice e assoluta, dove
C.S.
(Criterio di Leibniz) Sia data la serie $sum_(n=1)^infty (-1)^na_n$ con $a_n>0$ per ogni $n in NN$ se
1) $a_n to 0 \ qquad n to + infty$
2) $a_n ge a_(n+1) \ qquad n in NN$
allora la serie è convergente.
Quindi, occore verificare che la il termine $a_n$ è infinitesimo, inoltre, bisogna verificare anche che la successione $a_n$ è decrescente, quindi:
$a_n=1/(cos(1/sqrt(n^alpha)))-1 to 0\ qquad mbox{se} \ qquad 1/sqrt(n^alpha) to 0 \ qquad n to + infty$
si verifca questo per $alpha>0$, quindi la prima 1) è verificata.
Verifico la decrescenza del termine $a_n$, ossia:
$a_n ge a_(n+1) to 1/(cos(1/sqrt(n^alpha)))-1 ge 1/(cos(1/sqrt((n+1)^alpha)))-1 leftrightarrow 1/(cos(1/sqrt(n^alpha)))ge 1/(cos(1/sqrt((n+1)^alpha))) $
$leftrightarrow cos(1/sqrt((n+1)^alpha)) ge cos(1/sqrt(n^alpha)) leftrightarrow 1/(sqrt((n+1)^alpha)) le 1/(sqrt(n^alpha) ) leftrightarrow (sqrt((n+1)^alpha)) ge (sqrt(n^alpha) )$
l'ultima relazione è verificata quando $alpha >0 \ qquad forall n in NN: \ n le 1 $
Per cui la serie è convergente semplicemente.
Fin quì bene ?
$sum_(n=1)^infty(-1)^n(1/(cos(1/sqrt(n^alpha)))-1) \ qquad alpha in RR_+$
C.S.
(Criterio di Leibniz) Sia data la serie $sum_(n=1)^infty (-1)^na_n$ con $a_n>0$ per ogni $n in NN$ se
1) $a_n to 0 \ qquad n to + infty$
2) $a_n ge a_(n+1) \ qquad n in NN$
allora la serie è convergente.
Quindi, occore verificare che la il termine $a_n$ è infinitesimo, inoltre, bisogna verificare anche che la successione $a_n$ è decrescente, quindi:
$a_n=1/(cos(1/sqrt(n^alpha)))-1 to 0\ qquad mbox{se} \ qquad 1/sqrt(n^alpha) to 0 \ qquad n to + infty$
si verifca questo per $alpha>0$, quindi la prima 1) è verificata.
Verifico la decrescenza del termine $a_n$, ossia:
$a_n ge a_(n+1) to 1/(cos(1/sqrt(n^alpha)))-1 ge 1/(cos(1/sqrt((n+1)^alpha)))-1 leftrightarrow 1/(cos(1/sqrt(n^alpha)))ge 1/(cos(1/sqrt((n+1)^alpha))) $
$leftrightarrow cos(1/sqrt((n+1)^alpha)) ge cos(1/sqrt(n^alpha)) leftrightarrow 1/(sqrt((n+1)^alpha)) le 1/(sqrt(n^alpha) ) leftrightarrow (sqrt((n+1)^alpha)) ge (sqrt(n^alpha) )$
l'ultima relazione è verificata quando $alpha >0 \ qquad forall n in NN: \ n le 1 $
Per cui la serie è convergente semplicemente.
Fin quì bene ?
Risposte
Pare di sì.
Per la convergenza assoluta valuta l'ordine di infinitesimo.
Per la convergenza assoluta valuta l'ordine di infinitesimo.
Ciao gugo82,
Valuto primo l'ordine di infinitesimo, ricordo la definizione di ordine di infinitesimo di $f$, ossia:
Sia $g(x) to 0 \ qquad mbox{per} \ qquad x to x_0 $, infinitesimo campione per $n to + infty$
Se $f(x) to 0 \ qquad mbox{per} \ qquad x to x_0 $, ed esistono due numeri reali entrambi diversi da zero, tali che
Quindi con $alpha > 0$ e $n to + infty$, si ha
l'ordine di infinitesimo è $alpha>0$, errori ?
Valuto primo l'ordine di infinitesimo, ricordo la definizione di ordine di infinitesimo di $f$, ossia:
Sia $g(x) to 0 \ qquad mbox{per} \ qquad x to x_0 $, infinitesimo campione per $n to + infty$
Se $f(x) to 0 \ qquad mbox{per} \ qquad x to x_0 $, ed esistono due numeri reali entrambi diversi da zero, tali che
$f ~ kg(x)^alpha,$
si dice che $f$ è un infinitesimo di ordine $alpha$ rispetto all'infinitesimo campione $g$. Quindi con $alpha > 0$ e $n to + infty$, si ha
$a_n=1/(cos(1/sqrt(n^alpha)))-1=(1-cos(1/sqrt(n^alpha)))/(cos(1/sqrt(n^alpha)))=(1-cos(1/(n))^(alpha/2))/(cos(1/sqrt(n^alpha)))
=(1-cos(1/(n))^(alpha/2))/(cos(1/sqrt(n^alpha)))=$
$=((1-cos(1/(n))^(alpha/2))/[(1/(n))^(alpha/2)]^2) *([(1/(n))^(alpha/2)]^2/(cos(1/sqrt(n^alpha)))) ~ 1/2[(1/n)^(alpha/2)]^2[(1/n)^(alpha/2)]^2=1/2(1/n^alpha)$
=(1-cos(1/(n))^(alpha/2))/(cos(1/sqrt(n^alpha)))=$
$=((1-cos(1/(n))^(alpha/2))/[(1/(n))^(alpha/2)]^2) *([(1/(n))^(alpha/2)]^2/(cos(1/sqrt(n^alpha)))) ~ 1/2[(1/n)^(alpha/2)]^2[(1/n)^(alpha/2)]^2=1/2(1/n^alpha)$
l'ordine di infinitesimo è $alpha>0$, errori ?
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