Verifica continuità funzione a tratti
Buongiorno,
in un esercizio viene richiesto di verificare la continuità della funzione definita per tratti $f(x)={(1,if x>0),(-1,if x<0):}$
Il mio ragionamento è il seguente ma mi porta a concludere, sbagliando, che $f(x)$ non sia continua.
Posto che una funzione è continua in un punto accumulazione (o punto isolato) $x_0$ se e solo se:
tale punto $x_0$ appartiene al Dominio
se i $\lim_{x \to \x0} f(x)$ sinistro e destro sono uguali a $f(x_0)$
Il Dominio di $f(x)$ è $]-infty, 0[ uu ]0, +infty[$, e $x=0$ non appartiene al Dominio, dunque $f(x)$ non è continua in $x_0=0$.
Per cortesia potreste dirmi dove sbaglio?
Vi ringrazio.
in un esercizio viene richiesto di verificare la continuità della funzione definita per tratti $f(x)={(1,if x>0),(-1,if x<0):}$
Il mio ragionamento è il seguente ma mi porta a concludere, sbagliando, che $f(x)$ non sia continua.
Posto che una funzione è continua in un punto accumulazione (o punto isolato) $x_0$ se e solo se:
tale punto $x_0$ appartiene al Dominio
se i $\lim_{x \to \x0} f(x)$ sinistro e destro sono uguali a $f(x_0)$
Il Dominio di $f(x)$ è $]-infty, 0[ uu ]0, +infty[$, e $x=0$ non appartiene al Dominio, dunque $f(x)$ non è continua in $x_0=0$.
Per cortesia potreste dirmi dove sbaglio?
Vi ringrazio.
Risposte
La funzione è continua in tutto il suo insieme di definizione che è stato assegnato ovvero inteso come i tutti i reali salvo x=0.
La funzione invece non è continua in x=0 e questo a prescindere da come uno possa eventualmente definire il valore a x=0. Infatti dovrebbe risultare
$ \lim_{x \to \0^+} f(x) = \lim_{x \to \0^-} f(x) =f(0)$
ma chiaramente la prima uguaglianza tra limite destro e sinistro non è e non può essere soddisfatta.
Nota: La funzione assegnata è la funzione segno (salvo definire f=0 per x=0)
https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_segno
La funzione invece non è continua in x=0 e questo a prescindere da come uno possa eventualmente definire il valore a x=0. Infatti dovrebbe risultare
$ \lim_{x \to \0^+} f(x) = \lim_{x \to \0^-} f(x) =f(0)$
ma chiaramente la prima uguaglianza tra limite destro e sinistro non è e non può essere soddisfatta.
Nota: La funzione assegnata è la funzione segno (salvo definire f=0 per x=0)
https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_segno
"ingres":
La funzione è continua in tutto il suo insieme di definizione che è stato assegnato ovvero inteso come i tutti i reali salvo x=0.
La funzione invece non è continua in x=0 e questo a prescindere da come uno possa eventualmente definire il valore a x=0. Infatti dovrebbe risultare
$ \lim_{x \to \0^+} f(x) = \lim_{x \to \0^-} f(x) =f(0)$
ma chiaramente la prima uguaglianza tra limite destro e sinistro non è e non può essere soddisfatta.
Nota: La funzione assegnata è la funzione segno (salvo definire f=0 per x=0)
https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_segno
Ti ringrazio.
Credo di aver capito dove sbaglio:
si valuta la continuità di una funzione solo rispetto al suo Dominio o a un intervallo del suo Dominio (mai rispetto a tutto $RR$, come invece avevo inteso io). Ed eventualmente nel punto di giunzione dei rami della funzione.
E' corretto?
Si 
Grazie mille, ingres
@Anna33: Sì, la continuità si studia per punti del dominio. Anche perché, se ci pensi, nella definizione di continuità è coinvolto il valore $f(x_0)$ e quindi $f$ deve essere definita in $x_0$. Più avanti (se non l'hai già incontrate) incontrerai situazioni in cui, come ti ha scritto ingres, si intende che la funzione si può ridefinire in un punto in cui non è definita dandogli un valore. A quel punto, la funzione è definita in quel punto e allora ha senso studiarne la continuità in quel punto. Ad esempio, il dominio naturale di $g(x)=\frac{\sin x}{x}$ è $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, ma si può ridefinire in $0$ come vogliamo introducendo le funzioni:
$$g_1 (x)=\begin{cases} \frac{\sin x}{x}, \ \text{se} \ x\in\mathbb{R} \setminus \{0\} \\ 1, \ \text{se} \ x=0 \end{cases}$$
$$g_2 (x)=\begin{cases} \frac{\sin x}{x}, \ \text{se} \ x\in\mathbb{R} \setminus \{0\} \\ 13, \ \text{se} \ x=0 \end{cases}$$
Non ha senso chiedersi se $g$ è continua in $0$, non essendo definita in $0$; ha invece senso chiedersi se lo sono $g_1$ e $g_2$.
$$g_1 (x)=\begin{cases} \frac{\sin x}{x}, \ \text{se} \ x\in\mathbb{R} \setminus \{0\} \\ 1, \ \text{se} \ x=0 \end{cases}$$
$$g_2 (x)=\begin{cases} \frac{\sin x}{x}, \ \text{se} \ x\in\mathbb{R} \setminus \{0\} \\ 13, \ \text{se} \ x=0 \end{cases}$$
Non ha senso chiedersi se $g$ è continua in $0$, non essendo definita in $0$; ha invece senso chiedersi se lo sono $g_1$ e $g_2$.
Grazie, Mephlip, chiarissimo.
Ciao Anna
Non è necessario citare interamente il messaggio precedente
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Puoi editare togliendo la citazione (usa il tasto modifica in alto a destra), se lo fai io elimineró il mio messaggio e tuto risulterà più leggero
Meno è meglio
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