Verifica continuità funzione

[lucabro1]

Buongiorno,
sul mio libro parlando di derivabilità si fa questa affermazione:

... la funzione $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definita da:

\begin{equation} f(x)= \begin{cases} x^2 \space se \space x\in \mathbb{Q} \\ 0 \space se \space x\notin \mathbb{Q} \end{cases} \end{equation}
è derivabile in $x_{0}=0$ con derivata nulla e questo è anche l'unico punto in cui $f$ è continua...

La domanda è: perchè è continua solo in 0? Mi è chiara la definizione di continuità come quella di derivata, ma non arrivo a capire questa affermazione.

Grazie e buone feste

[billyballo2123]

Fissa un punto $x_0$ diverso da $0$. Ora, se questo punto è irrazionale (nel caso in cui non lo fosse, è facile modificare quanto segue per giungere alla stessa conclusione), allora $f(x_0)=0$ e ci sono infiniti punti vicini a $x_0$ che sono razionali, e la funzione su questi punti assume il valore $f(x)=x^2$ che tende a $x_0^2\ne 0$ quando $x\to x_0$ con $x$ razionale. Per definizione $f$ sarebbe continua in $x_0$ se e solo se
\[
\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0),
\]
ma per quanto detto sopra questa uguaglianza non è soddisfatta.

[ostrogoto1]

Per definizione di limite in $ x=x_0 $:
$ AA epsilon>0 EEdelta $ tale che se $ |x-x_0| Se $ x_0=0 $ allora prendo un $ delta $ opportuno per la funzione $ x^2 $ (e so che esiste) e poi noto che anche per i punti con $ xnotinQQ $ si ha che $ f(x) Se invece $ x_0!=0 $ non posso fare la stessa cosa perche' per $ epsilon $ sufficientemente piccolo il valore 0 assunto dalla funzione sui punti reali resta escluso dall'intorno di raggio epsilon di f(x). Detto volgarmente riferendosi a un disegnino (prova a farlo rappresentando $ x^2 $ e disegnando gli intorni relativi e poi prendi un punto non razionale dove la funzione vale 0) il valore 0 "resta piu' in basso" dell'intorno di f(x) quando $ x_0!=0 $

[lucabro1]

Ok grazie mille ragazzi!