Verifica condizione EDO

[alessandro.996]

Buonasera,
sono bloccato su un esercizio riguardante questa equazione differenziale:

$ y'=2alphax^2y+x^2 $

Sono riuscito a calcolare l'integrale generale che è: $ y(x)=omegae^(2/3alphax)-1/(2alpha) $

Ma dopo, l'esercizio mi chiede di trovare i valori di $alpha in R$ per cui ogni soluzione soddisfi:
$lim_(x->+oo) y(x)=10 $.

Purtroppo, qui, pur provandoci, non sono riuscito a completare l'esercizio e vi chiedo gentilmente una mano. Saluti!

[fisicarlo]

$ int 1/(2alphay+1) dy= int x^2 dx$
$1/(2alpha) int 1/(2alphay+1) d(2alphay+1)= x^3/3+A$
$ln(2alphay+1) = 2alpha(x^3/3+A)= 2alphax^3/3+B$
$(2alphay+1)=C *exp(2/3alphax^3)$

$y(x)=-1/(2alpha)+C/(2alpha) *exp(2/3alphax^3)$
$y(x)=-1/(2alpha)+D *exp(2/3alphax^3)$
_______________________________________________________

$ lim_(x -> infty) -1/(2alpha)+D*exp(2/3alphax^3)=10$
$ lim_(x -> infty) D*exp(2/3alphax^3)=10+1/(2alpha)$

per alpha<0 il primo membro va a 0
se esiste un alpha che fa divenytare 0 anche il secondo membro stiamo a posto:
$10+1/(2alpha)=0 => 1/(2alpha)=-10 => alpha=-1/20$

Verifichiamolo:

$y(x)=-1/(2alpha)+D *exp(2/3alphax^3)$
$y(x)=+10+D*exp(-1/30x^3)$
e :
$lim_(x ->infty) +10+D*exp(-1/30x^3) = 10$

[alessandro.996]

Chiarissimo. Grazie mille!

[fisicarlo]