Veridicità di un'affermazione poco comune
Salve a tutti,
Il mio professore di analisi ha affermato che data una successione $ a_n $
[size=150] Se \( \lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{\mid a_n \mid} > 1 \) allora \( \lim_{n\rightarrow \infty}a_n = \infty \) [/size]
Affermazione particolarmente utile nello studio delle serie con il criterio della radice, specie se stiamo studiando la convergenza assoluta di una serie. Se infatti il limite della radice ennesima è maggiore di 1, allora la serie non converge assolutamente. Di più, se la suddetta affermazione è vera, si può dire che il limite del termine generale è infinito e quindi non è verificata la condizione necessaria di convergenza (\( \lim_{n\rightarrow \infty}a_n = 0 \)). Pertanto la serie non converge nemmeno semplicemente.
A questo punto o l'affermazione è di banale dimostrazione e io sono un idiota (è probabile), oppure non è semplice o addirittura nemmeno vera. Su molti libri di testo non ne vedo traccia. Se riusciste a fornirmi una dimostrazione vi sarei grato
.
Il mio professore di analisi ha affermato che data una successione $ a_n $
[size=150] Se \( \lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{\mid a_n \mid} > 1 \) allora \( \lim_{n\rightarrow \infty}a_n = \infty \) [/size]
Affermazione particolarmente utile nello studio delle serie con il criterio della radice, specie se stiamo studiando la convergenza assoluta di una serie. Se infatti il limite della radice ennesima è maggiore di 1, allora la serie non converge assolutamente. Di più, se la suddetta affermazione è vera, si può dire che il limite del termine generale è infinito e quindi non è verificata la condizione necessaria di convergenza (\( \lim_{n\rightarrow \infty}a_n = 0 \)). Pertanto la serie non converge nemmeno semplicemente.
A questo punto o l'affermazione è di banale dimostrazione e io sono un idiota (è probabile), oppure non è semplice o addirittura nemmeno vera. Su molti libri di testo non ne vedo traccia. Se riusciste a fornirmi una dimostrazione vi sarei grato
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Risposte
per ipotesi, da un certo $n_0$ in poi,$forall n>n_0, root(n)|a_n|>alpha>1 $
$|a_n|= (root(n)|a_n|)^n$
ora,basta ricordare che se $a>1$, $ lim_(n -> +infty)a^n=+infty $
$|a_n|= (root(n)|a_n|)^n$
ora,basta ricordare che se $a>1$, $ lim_(n -> +infty)a^n=+infty $
Grazie mille stormy, spiegazione esauriente.
Era proprio ciò che cercavo!
Gentilissimo
Era proprio ciò che cercavo!
Gentilissimo
Sono d'accordo con il risultato ma non sono d'accordo con la dimostrazione di stormy. Non basta dire che $|a_n|^{1/n}>1$ definitivamente. Ad esempio, potrebbe capitare che $|a_n|^{1/n}=1+1/n$, e non è vero che $(1+1/n)^n\to \infty$.
Per rimediare, bisogna dire che esiste una costante $c>1$ tale che $|a_n|^{1/n}\ge c$ definitivamente, il che implica $|a_n|\ge c^n\to \infty$.
Per rimediare, bisogna dire che esiste una costante $c>1$ tale che $|a_n|^{1/n}\ge c$ definitivamente, il che implica $|a_n|\ge c^n\to \infty$.
ma, $ lim_(n -> +infty) (1+1/n)=1 $ non $>1$ 
Infatti l'appunto non è sul risultato, che è giusto, ma sulla dimostrazione. Forse non mi sono spiegato bene
no,ti sei spiegato
io davo per scontato che se $ lim_(n-> +infty)root(n)a_n>1 $ esiste $alpha>1$ tale che da un certo $n$ in poi $root(n)a_n >alpha$
comunque hai ragione ,la dimostrazione non è rigorosa
correggo,prima di tutto bisogna fare l'interesse di chi ha posto la domanda
io davo per scontato che se $ lim_(n-> +infty)root(n)a_n>1 $ esiste $alpha>1$ tale che da un certo $n$ in poi $root(n)a_n >alpha$
comunque hai ragione ,la dimostrazione non è rigorosa
correggo,prima di tutto bisogna fare l'interesse di chi ha posto la domanda
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