Velocità di crescita dei lati di un triangolo

[darkxde]

Salve a tutti, mi sono imbattuto nel seguente esercizio e sto avendo delle difficoltà nel risolvere il secondo quesito:

In un triangolo isoscele \( ABC \) il vertice \( C\) si muove perpendicolarmente alla base \( AB\) in modo che l'area del triangolo cresca ad una velocità di \( 4 \ cm^2/s \). La base \( AB \) è lunga \( 3 \ cm \) .
1. A quale velocità cresce l'altezza \( CH \)?
2. E il lato \( CB\)?

1.
Per risolvere la prima parte ho utilizzato le derivate sapendo che:
- La formula per l'area del triangolo è \(A = 1/2 \cdot AB \cdot CH \)
- La variazione della base ripetto al tempo è costante mentre quella dell'area è: \( \frac{dA}{dt} = \frac{3 cm}{2} \cdot \frac{dCH}{dt} \)

Risolvendo per la derivata di \( CH \) rispetto al tempo ottengo che l'altezza varia di \( \frac{8}{3} \frac{cm}{s} \)

2.
Qui iniziano le mie difficoltà.
Nel provare a risolvere per la derivata del lato \( CB \) avevo pensato di utilizzare il teorema di pitagora sul trangolo rettangolo \( CHB \), trovandomi con:
\( CB = \sqrt{ (\frac{AB}{2})^2 +(CH)^2} \)

Ora devo derivare rispetto al tempo, ma sono sicuro che non sia corretto in questo modo:
\( \frac{dCB}{dt} = \sqrt{(\frac{3}{2} cm)^2 + (\frac{8}{3} \frac{cm}{s})^2}
\)
Sapreste indicarmi dove sto sbagliando? Grazie

[ingres]

Consideriamo lunghezze in cm e tempo in secondi omettendo per semplicità le unità di misura, e che per t=0 il vertice C fosse su AB e l'area fosse nulla. Si avrebbe la seguente scrittura più precisa

$A = 4*t $
$1/2 bar (CH)* bar (AB) =A$ e quindi $bar (CH)=2*A/bar(AB) = 8/3 t$ e pertanto $(d(bar(CH)))/dt =8/3$

Allo stesso modo avremo per CB

$bar(CB) = sqrt((bar(AB))^2/4+bar(CH)^2)=sqrt(9/4+64/9t^2)$

$(d(bar(CB)))/dt = 64/9*t/(sqrt(9/4+64/9t^2)$

[Mephlip]

@darkxde: Per caso è un esercizio del Pagani-Salsa 1? Ho un deja vu.