Velocità a raggiungere l'infinito
Salve a tutti, io so che per n che tende ad infinito, il logaritmo è più lento della potenza che è più lenta dell'esponenziale che è più lento del fattoriale. Ovvero \(\displaystyle \log_an < n^b
Ora quello che voglio chiedere io è la seguente cosa. Come faccio a sapere quale è più velce tra per esempio:
\(\displaystyle n! \) e \(\displaystyle n!^{\log_ab} \)
oppure
\(\displaystyle n! \) e \(\displaystyle n!^{\log_an} \)
\(\displaystyle n! \) e \(\displaystyle n!^{\log_ab^n} \)
\(\displaystyle n! \) e \(\displaystyle n!^{\log_an!} \)
\(\displaystyle (2n) \)! e \(\displaystyle n! \)
\(\displaystyle n! \) e \(\displaystyle n!^n \)
\(\displaystyle \frac{n!}{6} \) e \(\displaystyle n^n \)
\(\displaystyle a^nn \) e \(\displaystyle n! \)
\(\displaystyle \log_{12}n \) e \(\displaystyle \sqrt[12]{n} \)
\(\displaystyle \log_{12}n \) e \(\displaystyle \frac{2^n}{3^n} \)
\(\displaystyle n^{1000} \) e \(\displaystyle 2^n \)
\(\displaystyle \log_{3}n^2 \) e \(\displaystyle n^{3/4} \)
\(\displaystyle n \) e \(\displaystyle (1/2)^n \)
\(\displaystyle \frac{n}{(n!)^2} \) , \(\displaystyle n!n \) e \(\displaystyle n! \)
Scusate il disturbo ma devo cercare di capire un po' il meccanismo
Ora quello che voglio chiedere io è la seguente cosa. Come faccio a sapere quale è più velce tra per esempio:
\(\displaystyle n! \) e \(\displaystyle n!^{\log_ab} \)
oppure
\(\displaystyle n! \) e \(\displaystyle n!^{\log_an} \)
\(\displaystyle n! \) e \(\displaystyle n!^{\log_ab^n} \)
\(\displaystyle n! \) e \(\displaystyle n!^{\log_an!} \)
\(\displaystyle (2n) \)! e \(\displaystyle n! \)
\(\displaystyle n! \) e \(\displaystyle n!^n \)
\(\displaystyle \frac{n!}{6} \) e \(\displaystyle n^n \)
\(\displaystyle a^nn \) e \(\displaystyle n! \)
\(\displaystyle \log_{12}n \) e \(\displaystyle \sqrt[12]{n} \)
\(\displaystyle \log_{12}n \) e \(\displaystyle \frac{2^n}{3^n} \)
\(\displaystyle n^{1000} \) e \(\displaystyle 2^n \)
\(\displaystyle \log_{3}n^2 \) e \(\displaystyle n^{3/4} \)
\(\displaystyle n \) e \(\displaystyle (1/2)^n \)
\(\displaystyle \frac{n}{(n!)^2} \) , \(\displaystyle n!n \) e \(\displaystyle n! \)
Scusate il disturbo ma devo cercare di capire un po' il meccanismo
Risposte
Ciao, esistono vari criteri per stabilire la velocità di una successione, nel tuo caso credo che convenga fare un confronto tra le successioni, cioè fare il limite del rapporto tra le due successioni che vuoi confrontare e in base al risultato stabilire qual'è la più veloce, ad esempio
\(\displaystyle lim \frac{n!}{n!^{\log_ab}}=1 \) quindi le due successioni hanno la stessa velocità!
\(\displaystyle lim \frac{n!}{n!^{\log_ab}}=1 \) quindi le due successioni hanno la stessa velocità!
Innanzitutto stai attento che quello che hai detto nell'intro non è sempre vero, devi imporre che $a>1$ , $b>0$ , $c>1$.
Seconda cosa, per vedere qual'è il più veloce tra $f(n)$ e $g(n)$ ti basta considerare $lim_{n\to\infty}\frac(f(n))(g(n))$. Se il limite tende a 0, significa che è più veloce $g(n)$, se tende a $\infty$ è più veloce $f(n)$, se invece tende ad un valore finito diverso da 0, allora hanno lo stesso ORDINE di velocità, e la velocità differisce a meno di una costante moltiplicativa. Va da sè che se il limite tende a $\+-1$ significa che hanno esattamente la stessa velocità (al più con versi opposti se è negativo).
Vedrai che il solo considerare la frazione ti aiuterà un sacco, ad esempio:
$f(n)=n!$ , $g(n)=n!^{log_{a}b}$.
$\frac(f)(g)=\frac(n!)(n!^{log_{a}b})=n!^{1}n!^{-log_{a}b}=n!^{1-log_{a}b}$
E sai che il relativo limite tende a $+\infty$ solo se l'esponente è positivo, a 1 se è uguale a 0, a 0 se è negativo.
Da li ti trovi i casi studiando il segno di $1-log_{a}b$.
Per quanto riguarda altri casi, molte volte ti può essere utile una considerazione di questo tipo:
$a^b=e^{log(a^{b})}=e^{b*log(a)}$
Spero di esserti stato d'aiuto!
Seconda cosa, per vedere qual'è il più veloce tra $f(n)$ e $g(n)$ ti basta considerare $lim_{n\to\infty}\frac(f(n))(g(n))$. Se il limite tende a 0, significa che è più veloce $g(n)$, se tende a $\infty$ è più veloce $f(n)$, se invece tende ad un valore finito diverso da 0, allora hanno lo stesso ORDINE di velocità, e la velocità differisce a meno di una costante moltiplicativa. Va da sè che se il limite tende a $\+-1$ significa che hanno esattamente la stessa velocità (al più con versi opposti se è negativo).
Vedrai che il solo considerare la frazione ti aiuterà un sacco, ad esempio:
$f(n)=n!$ , $g(n)=n!^{log_{a}b}$.
$\frac(f)(g)=\frac(n!)(n!^{log_{a}b})=n!^{1}n!^{-log_{a}b}=n!^{1-log_{a}b}$
E sai che il relativo limite tende a $+\infty$ solo se l'esponente è positivo, a 1 se è uguale a 0, a 0 se è negativo.
Da li ti trovi i casi studiando il segno di $1-log_{a}b$.
Per quanto riguarda altri casi, molte volte ti può essere utile una considerazione di questo tipo:
$a^b=e^{log(a^{b})}=e^{b*log(a)}$
Spero di esserti stato d'aiuto!
"Rosy1993":
Ciao, esistono vari criteri per stabilire la velocità di una successione, nel tuo caso credo che convenga fare un confronto tra le successioni, cioè fare il limite del rapporto tra le due successioni che vuoi confrontare e in base al risultato stabilire qual'è la più veloce, ad esempio
\(\displaystyle lim \frac{n!}{n!^{\log_ab}}=1 \) quindi le due successioni hanno la stessa velocità!
Non hanno assolutamente la stessa velocità! Dipende dall'esponente a denominatore!
"Nomadje":
[quote="Rosy1993"]Ciao, esistono vari criteri per stabilire la velocità di una successione, nel tuo caso credo che convenga fare un confronto tra le successioni, cioè fare il limite del rapporto tra le due successioni che vuoi confrontare e in base al risultato stabilire qual'è la più veloce, ad esempio
\(\displaystyle lim \frac{n!}{n!^{\log_ab}}=1 \) quindi le due successioni hanno la stessa velocità!
Non hanno assolutamente la stessa velocità! Dipende dall'esponente a denominatore![/quote]
oddio è vero ho scritto una scemenza!!!!!!!!!! chiedo scusa per la super gaffe
"Rosy1993":
Ciao, esistono vari criteri per stabilire la velocità di una successione, nel tuo caso credo che convenga fare un confronto tra le successioni, cioè fare il limite del rapporto tra le due successioni che vuoi confrontare e in base al risultato stabilire qual'è la più veloce, ad esempio
\(\displaystyle lim \frac{n!}{n!^{\log_ab}}=1 \) quindi le due successioni hanno la stessa velocità!
Grazie Rosy
scusa se rispondo ora ma ho avuto un esame ora testerò quello che mi hai scritto grazie mille
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