Veloce dubbio su insiemistica
salve a tutti in un pre-test il mio professore di analisi ha proposto un insieme del genere: $ nn_(n = 1)^(oo) (-n,1/n) $
e durante la correzione del suddetto pre-test lui ha detto che l'insieme ottenuto dall' intersezione è $ (-oo,o] $ ma a me non torna molto questa cosa.
Mi viene da pensare che io comunque aumentando n fino a infinito mi avvicino moltissimo a 0 ma non lo comprendo mai...dove sbaglio a ragionare?
grazie in anticipo
e durante la correzione del suddetto pre-test lui ha detto che l'insieme ottenuto dall' intersezione è $ (-oo,o] $ ma a me non torna molto questa cosa.
Mi viene da pensare che io comunque aumentando n fino a infinito mi avvicino moltissimo a 0 ma non lo comprendo mai...dove sbaglio a ragionare?
grazie in anticipo
Risposte
Per comodità chiamiamo $A_n =(-n , 1/n)$.
Mi sembra chiaro che $0 in A_n$ per ogni $n in NN$ (infatti $-n <0$ e $1/n>0$).
Dunque $0 in nn_{n=1}^{+oo} A_n $.
Non sono però d'accordo su una cosa. A me viene $nn_{n=1}^{+oo} A_n = (-1,0]$, non $nn_{n=1}^{+oo} A_n = (-oo,0]$
Infatti ad esempio $A_1= (-1,1)$, dunque l'intersezione di tutti gli $A_n$ deve avere come estremo inferiore un numero non inferiore a $-1$
Mi sembra chiaro che $0 in A_n$ per ogni $n in NN$ (infatti $-n <0$ e $1/n>0$).
Dunque $0 in nn_{n=1}^{+oo} A_n $.
Non sono però d'accordo su una cosa. A me viene $nn_{n=1}^{+oo} A_n = (-1,0]$, non $nn_{n=1}^{+oo} A_n = (-oo,0]$
Infatti ad esempio $A_1= (-1,1)$, dunque l'intersezione di tutti gli $A_n$ deve avere come estremo inferiore un numero non inferiore a $-1$
si scusami hai ragione sull'estremo inferiore, era -1.
Comunque ho capito il ragionamento grazie mille =).
Comunque ho capito il ragionamento grazie mille =).
Puoi anche pensare così: abbiamo, come è facile vedere
$$A_n=B_n\cup C_n,\qquad B_n=(-n,0],\ C_n=(0,1/n),\qquad B_n\cap C_n=\emptyset$$
Inoltre è anche immediato verificare che, per ogni $n$
$$B_n\subset B_{n+1},\qquad C_{n+1}\subset C_n$$
A questo punto, grazie al fatto che questi insiemi sono disgiunti, si può scrivere
$$\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\bigcap_{n=1}^\infty(B_n\cup C_n)=\bigcap_{n=1}^\infty B_n\ \cup\ \bigcap_{n=1}^\infty C_n=B_1\cup C_{\infty}=B_1\cup\emptyset=B_1=(-1,0)$$
$$A_n=B_n\cup C_n,\qquad B_n=(-n,0],\ C_n=(0,1/n),\qquad B_n\cap C_n=\emptyset$$
Inoltre è anche immediato verificare che, per ogni $n$
$$B_n\subset B_{n+1},\qquad C_{n+1}\subset C_n$$
A questo punto, grazie al fatto che questi insiemi sono disgiunti, si può scrivere
$$\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\bigcap_{n=1}^\infty(B_n\cup C_n)=\bigcap_{n=1}^\infty B_n\ \cup\ \bigcap_{n=1}^\infty C_n=B_1\cup C_{\infty}=B_1\cup\emptyset=B_1=(-1,0)$$
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