Veloce dubbio costante di integrazione
Ciao, ho il seguente dubbio:
Da un equazione differenziale arrivo al seguente risultato:
$ log(Q)=-t/n+"costante" $
con costante intendo la costante di integrazione.
n costante
t variabile
Ma io voglio ottenere Q, quindi scrivo:
$ Q(t)=e^(-t/n+"costante") $
Ora il libro scrive
$ Q(t)=Ae^(-t/n) $
con A costante.
io so che Q(0)=Qiniz e viene sostituito ad A -> Qiniz
sapete dirmi, anche in modo veloce, il "perché matematico" del fatto che se avessi messo la costante=Qo in questo passaggio ( $ Q(t)=e^(-t/n+"costante") $ ) non sarebbe andato bene?
Grazie!!
Da un equazione differenziale arrivo al seguente risultato:
$ log(Q)=-t/n+"costante" $
con costante intendo la costante di integrazione.
n costante
t variabile
Ma io voglio ottenere Q, quindi scrivo:
$ Q(t)=e^(-t/n+"costante") $
Ora il libro scrive
$ Q(t)=Ae^(-t/n) $
con A costante.
io so che Q(0)=Qiniz e viene sostituito ad A -> Qiniz
sapete dirmi, anche in modo veloce, il "perché matematico" del fatto che se avessi messo la costante=Qo in questo passaggio ( $ Q(t)=e^(-t/n+"costante") $ ) non sarebbe andato bene?
Grazie!!
Risposte
Ciao matteo_g,
Beh, ha semplicemente posto $A := e^{\text{costante}} $ ...
Beh, ha semplicemente posto $A := e^{\text{costante}} $ ...
Si, esatto, e mi viene che per t=0, $ Q=e^(Qo) $ , però dovrebbe venirmi che per t=0, $ Q=Qo $ e quindi non torna.
Bho, forse sarà una cosa che risulta strana a me che la costante vada sostituita nel passaggio finale
oppure, come spesso accade, mi sfugge qualcosa.
Bho, forse sarà una cosa che risulta strana a me che la costante vada sostituita nel passaggio finale
oppure, come spesso accade, mi sfugge qualcosa.
Forse sono stato un po' criptico, ma se la tua soluzione è
$ Q(t) = e^(-t/n+"costante") $
è chiaro che si ha:
$Q(0) = e^(-0/n+"costante") = e^("costante") =: Q_0 = A$
Quindi si può scrivere
$ Q(t) = e^("costante") \cdot e^{-t/n} = Q_0 e^{-t/n} $
$ Q(t) = e^(-t/n+"costante") $
è chiaro che si ha:
$Q(0) = e^(-0/n+"costante") = e^("costante") =: Q_0 = A$
Quindi si può scrivere
$ Q(t) = e^("costante") \cdot e^{-t/n} = Q_0 e^{-t/n} $
Si, sono d'accordo anche su questo.
Il mio dubbio è però diverso, forse non lo esprimo correttamente però.
"perchè vado a definire la costante di integrazione proprio alla fine e non posso definirla prima, come nel messaggio subito precedente a questo? Perchè ad esempio non posso scrivere direttamente costante=Qo in questo passaggio:
$ Q(t)=e^(−t/n+"costante") $
Il mio dubbio è però diverso, forse non lo esprimo correttamente però.
"perchè vado a definire la costante di integrazione proprio alla fine e non posso definirla prima, come nel messaggio subito precedente a questo? Perchè ad esempio non posso scrivere direttamente costante=Qo in questo passaggio:
$ Q(t)=e^(−t/n+"costante") $
Forse mi sto confondendo!
l'importante nel definire la costante sta nell'arrivare alla fine a ciò che si vuole o sbaglio?
Ad esempio se Q a t=0 è uguale a Qo io devo definire la costante in modo tale da arrivare ad ottenere ciò, senza fare troppi giri di parole.
l'importante nel definire la costante sta nell'arrivare alla fine a ciò che si vuole o sbaglio?
Ad esempio se Q a t=0 è uguale a Qo io devo definire la costante in modo tale da arrivare ad ottenere ciò, senza fare troppi giri di parole.
No, ma il concetto base è che non puoi scrivere $e^{Q_0} $, perché ciò che sta ad esponente della $e$ deve essere un numero, anche il rapporto $- t/n $ è adimensionale, mentre $Q_0 := Q(0) $ ha il significato di una carica all'istante $t = 0 $
Ok, giusto.
Non avevo pensato al fatto che dovesse essere adimensionale.
Grazie!!
Una curiosità: se ho e^t con t in secondi, l'unità di misura relativa ad e^t com'è?
Non avevo pensato al fatto che dovesse essere adimensionale.
Grazie!!
Una curiosità: se ho e^t con t in secondi, l'unità di misura relativa ad e^t com'è?
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