Varietà riemanniana
salve ragazzi,
il qui presente si trova di fronte ad un dilemma:
che cosa rappresenta una varietà riemanniana?!
in matematico rigore,ne ho una definizione,ma non riesco a coglierne il senso e la sua utilità,soprattutto in ambito fisico-matematico...
Esiste qualcuno disposto ad aiutarmi,avendo già metabolizzato questo concetto?!
il qui presente si trova di fronte ad un dilemma:
che cosa rappresenta una varietà riemanniana?!
in matematico rigore,ne ho una definizione,ma non riesco a coglierne il senso e la sua utilità,soprattutto in ambito fisico-matematico...
Esiste qualcuno disposto ad aiutarmi,avendo già metabolizzato questo concetto?!
Risposte
una varietà riemanniana è uno spazio topologico T2 a base numerabile dotato di struttura diffferenziabile e dotato di una metrica.
esempi di varietà riemmaniane sono le superifci in $RR^3$ oppure lo spazio proiettivo reale.
esempi di varietà riemmaniane sono le superifci in $RR^3$ oppure lo spazio proiettivo reale.
Ci provo anch'io. In parole le più povere possibili ... (ma in un'ottica prettamente fisica)
Una varietà riemanniana $V^n$ è uno "spazio" che localmente (in generale, solo localmente !) ha le proprietà metriche tipiche dello spazio euclideo $R^n$.
L'applicazione fisica più importante di questo concetto si ha nella teoria della relatività generale.
Secondo tale teoria, lo spazio-tempo quadridimensionale è una varietà (meglio, una pseudovarietà, perchè in essa si definisce una pseudometrica, esistendo punti distinti a distanza nulla) globalmente non euclidea, ma localmente euclidea. La causa dell' "incurvamento" sono le masse.
Localmente euclidea perchè, per quanto una varietà sia curva, in un intorno "infinitesimo" di un suo punto essa è "indistinguibile" dal piano tangente a quel punto.
Una varietà riemanniana $V^n$ è uno "spazio" che localmente (in generale, solo localmente !) ha le proprietà metriche tipiche dello spazio euclideo $R^n$.
L'applicazione fisica più importante di questo concetto si ha nella teoria della relatività generale.
Secondo tale teoria, lo spazio-tempo quadridimensionale è una varietà (meglio, una pseudovarietà, perchè in essa si definisce una pseudometrica, esistendo punti distinti a distanza nulla) globalmente non euclidea, ma localmente euclidea. La causa dell' "incurvamento" sono le masse.
Localmente euclidea perchè, per quanto una varietà sia curva, in un intorno "infinitesimo" di un suo punto essa è "indistinguibile" dal piano tangente a quel punto.
grazie mille ad entrambi...
non mi meraviglio che sia spesso utile un riferimento alla geometria euclidea,anche se dagli studi che sto facendo capisco che tra un po' dovrò necessariamente "sganciarmi" da questo "caso particolare" di geometria!grazie ancora...
non mi meraviglio che sia spesso utile un riferimento alla geometria euclidea,anche se dagli studi che sto facendo capisco che tra un po' dovrò necessariamente "sganciarmi" da questo "caso particolare" di geometria!grazie ancora...
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