Varietà non connessa

[thedarkhero]

Consideriamo la varietà 1-dimensionale $M={(x,y,z)\inRR^3:x^2-xy+y^2-z^2=1,x^2+y^2=1}$.
Si tratta dell'intersezione tra un iperboloide iperbolico e un cilindro.

Definiamo gli aperti $A={(x,y,z)\inRR^3:x>y}$ e $B=RR^3 "\" A$.
Si ha che $M nn A$ e $M nn B$ sono chiusi.
Non mi è chiaro perchè questo comporta che $M$ non è connessa.

[dissonance]

A parte il fatto che \(B\) non è aperto, di solito è per definizione che uno spazio non è connesso quando ammette almeno un sottoinsieme chiuso e aperto non banale.

[thedarkhero]

Hai ragione, correggo con $B={(x,y,z)\inRR^3:x
Detto questo, nel mio caso quindi chi sarebbe il sottoinsieme di $M$ chiusoaperto non banale?

[dissonance]

Sarebbe
\[M\bigcap A\]

[thedarkhero]

Beh ma chiusoaperto significa che è sia chiuso che aperto giusto?

Ma in base a cosa posso concludere che $M nn A$ è chiuso ed aperto?

[dissonance]

Lo hai detto tu stesso due post fa che $M nn A$ è chiuso. Inoltre $A$ è aperto e quindi $M nn A$ è aperto nella topologia di $M$. Ricordiamoci che gli aperti di $M$ sono tutti e soli gli insiemi della forma $M nn U$ dove $U$ è un aperto di $RR^n$

[thedarkhero]

Sul fatto che $M nn A$ sia aperto nella topologia di $M$ ci sono.

Io dicevo che $M nn A$ e' chiuso perche' pensavo alla topologia di $RR^n$ e non di $M$...non mi e' ancora chiaro come vedo che e' chiuso anche nella topologia di $M$.

[dissonance]

Sempre lo stesso discorso. I chiusi di $M$ sono gli insiemi della forma $M nn F$ dove $F$ è un chiuso di $RR^n$. In questo caso $F=M nn A$

[thedarkhero]

Grazie dissonance, tutto chiaro!