Varietà differenziale
Sia $g: RR^3-> RR$ definita ponendo $g(x,y,z) = y*cos z - x sin z$
e sia $V ={ (x,y,z) in RR^3 : g(x,y,z) =0}$.
Dire se V è varietà 2-dimensionale.
So che V è varietà differenziale di $RR^3$ se non è vuoto, e $AA y_0 in V EE Y $ intorno aperto di $y_0 in RR^3$ e un diffeomorfismo $\gamma : Y nn V -> U$ dove $U$ è aperto di $RR^3$.
Però non riesco ad applicare bene la definizione per risolvere il problema.. aiutino?
e sia $V ={ (x,y,z) in RR^3 : g(x,y,z) =0}$.
Dire se V è varietà 2-dimensionale.
So che V è varietà differenziale di $RR^3$ se non è vuoto, e $AA y_0 in V EE Y $ intorno aperto di $y_0 in RR^3$ e un diffeomorfismo $\gamma : Y nn V -> U$ dove $U$ è aperto di $RR^3$.
Però non riesco ad applicare bene la definizione per risolvere il problema.. aiutino?
Risposte
Quando una varietà è assegnata in forma implicita conviene sempre tener presente il teorema del Dini (o della funzione implicita, che dir si voglia).
"gugo82":
Quando una varietà è assegnata in forma implicita conviene sempre tener presente il teorema del Dini (o della funzione implicita, che dir si voglia).
grazie della risposta, ma proprio non riesco a capire come potrebbe aiutarmi il teorema del Dini..
Provo a rispondere, non sono molto esperta in merito ma faccio un umile tentativo:
Un corollario del teorema del Dini è il teorema delle funzioni inverse che si può enunciare come segue*:
Sia [tex]U \subset \mathbb{R}^n[/tex] un aperto a sia [tex]g:U \rightarrow \mathbb{R}^m[/tex] una applicazione continua. Se esiste [tex]x\in U[/tex] tale che il differenziale [tex]g_{*x}[/tex] sia un isomorfismo, allora esiste un aperto [tex]V\subset U[/tex] contenente [tex]x[/tex] tale che [tex]g(V)[/tex] è un aperto e la restrizione [tex]g_{|V}:V \rightarrow F(V)[/tex] è un diffeomorfismo di classe [tex]C^1.[/tex]
Per quanto riguarda il tuo esercizio, si tratta quindi di far vedere che l'applicazione [tex]g[/tex] è un isomorfismo in ogni punto del suo dominio, questo dovrebbe essere sufficente a garantire che in ogni punto è un diffeomorfismo locale da un intorno aperto di [tex]x[/tex] su un intorno aperto di [tex]g(x)[/tex].
Per dimostrare che [tex]g_{*x}[/tex] è un isomorfismo si deve verificare che la matrice Jacobiana di [tex]g[/tex] è sempre diversa da zero:
[tex]J(g)=(-senz, cosz, -ysenz-xcosz) \neq 0[/tex].
Si tratta di verificare che nell'insieme aperto di definizione di [tex]g[/tex] non ci sono punti che annullano le tre componenti di [tex]J(g)[/tex];
io procederei così: osservo che la funzione [tex]g(x,y,z) = ycosz-xsenz=0[/tex] se:
[tex]x=y=0[/tex] oppure:
[tex]x=y \quad z=\pi/4+k[/tex] essendo [tex]k \in \mathbb{Z}[/tex]
e tra questi valori nessuno annulla la [tex]J(g)[/tex].
Non sono tanto sicura della correttezza del ragionamento quindi prima di fidarti ciecamente di ciò che ho scritto aspetta la conferma da parte di qualcuno più competente di me!
*vedasi Sernesi 2
Un corollario del teorema del Dini è il teorema delle funzioni inverse che si può enunciare come segue*:
Sia [tex]U \subset \mathbb{R}^n[/tex] un aperto a sia [tex]g:U \rightarrow \mathbb{R}^m[/tex] una applicazione continua. Se esiste [tex]x\in U[/tex] tale che il differenziale [tex]g_{*x}[/tex] sia un isomorfismo, allora esiste un aperto [tex]V\subset U[/tex] contenente [tex]x[/tex] tale che [tex]g(V)[/tex] è un aperto e la restrizione [tex]g_{|V}:V \rightarrow F(V)[/tex] è un diffeomorfismo di classe [tex]C^1.[/tex]
Per quanto riguarda il tuo esercizio, si tratta quindi di far vedere che l'applicazione [tex]g[/tex] è un isomorfismo in ogni punto del suo dominio, questo dovrebbe essere sufficente a garantire che in ogni punto è un diffeomorfismo locale da un intorno aperto di [tex]x[/tex] su un intorno aperto di [tex]g(x)[/tex].
Per dimostrare che [tex]g_{*x}[/tex] è un isomorfismo si deve verificare che la matrice Jacobiana di [tex]g[/tex] è sempre diversa da zero:
[tex]J(g)=(-senz, cosz, -ysenz-xcosz) \neq 0[/tex].
Si tratta di verificare che nell'insieme aperto di definizione di [tex]g[/tex] non ci sono punti che annullano le tre componenti di [tex]J(g)[/tex];
io procederei così: osservo che la funzione [tex]g(x,y,z) = ycosz-xsenz=0[/tex] se:
[tex]x=y=0[/tex] oppure:
[tex]x=y \quad z=\pi/4+k[/tex] essendo [tex]k \in \mathbb{Z}[/tex]
e tra questi valori nessuno annulla la [tex]J(g)[/tex].
Non sono tanto sicura della correttezza del ragionamento quindi prima di fidarti ciecamente di ciò che ho scritto aspetta la conferma da parte di qualcuno più competente di me!
*vedasi Sernesi 2
molte grazie. mi sembra di aver capito.
"ettanic":
So che V è varietà differenziale di $RR^3$ se non è vuoto, e $AA y_0 in V EE Y $ intorno aperto di $y_0 in RR^3$ e un diffeomorfismo $\gamma : Y nn V -> U$ dove $U$ è aperto di $RR^3$.
Un'alternativa alla soluzione proposta da Clorinda potrebbe essere la seguente. Praticamente a lezione abbiamo studiato che una sottovarietà può essere definita sostanzialmente in tre modi: come grafico di una funzione $C^1$ o mediante equazioni cartesiane o parametriche. Questo esercizio è appunto il caso di una sottovarietà definita mediante equazione cartesiana poiché, mantenendo la tua notazione,
$(1)$ $V cap Y = {(x,y,z) in Y : g(x,y,z)=0}$;
applicando il teorema insegnatomi abbiamo che V è una sottovarietà se valgono $(1)$ e le seguenti ipotesi di regolarità del Dini:
$(2)$ $Y$ è un aperto e $g$ è di classe $C^1$ su $y$;
$(3)$ $nabla g(x,y,z)$ è linearmente indipendente (cioè $nabla g(x,y,z) != 0$).
Inoltre, in queste condizioni, la dimensione della sottovarietà è data da:
$dim(V)= text{dim(spazio ambiente) - (n°vincoli)}=3-1=2$.
Quindi basta verificare che la funzione $g(x,y,z)$ (che è $C^1$ su tutto $RR^3$ perchè composizione di funzioni $C^1$) ha gradiente nullo su tutto $RR^3$ e dovresti aver risolto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo