Varietà
Ciao! Ho un dubbio sulle varietà.
Premetto che per me una p-varietà di R^n di classe C^k è localmente il luogo degli zeri di una funzione C^k da un aperto di R^n ad R^n-p, che ha rango massimo. Quindi per il teroema di Dini è localmente il grafico di una funzione da un aperto di R^p ad R^n-p.
Volevo chiedervi se per esempio un cerchio pieno M con anche la circonferenza è una 2-varietà di R^3.
Io direi di no perchè i punti della circonferenza non possono avere un intorno su M che sia il grafico di una funzione definita su un APERTO di R^2.
E' corretto come ragionamento? Se sì, come si può dimostrare?
Premetto che per me una p-varietà di R^n di classe C^k è localmente il luogo degli zeri di una funzione C^k da un aperto di R^n ad R^n-p, che ha rango massimo. Quindi per il teroema di Dini è localmente il grafico di una funzione da un aperto di R^p ad R^n-p.
Volevo chiedervi se per esempio un cerchio pieno M con anche la circonferenza è una 2-varietà di R^3.
Io direi di no perchè i punti della circonferenza non possono avere un intorno su M che sia il grafico di una funzione definita su un APERTO di R^2.
E' corretto come ragionamento? Se sì, come si può dimostrare?
Risposte
E' una sottovarietà con bordo.
Ma secondo la definizione che ho io non è una varietà, giusto?
Se consideri il cerchio aperto allora è una varietà a tutti gli effetti, poichè se per esempio il tuo cerchio è quello schiacciato sul piano x,y (x^2+y^2<1)
Allora è il luogo degli zeri della funzione definita dalla sfera aperta (x^2+y^2+z^2<1) ad R che a (x,y,z) associa z
Quindi se ci aggiungi la circonferenza a chiudere il cerchio diventa una varietà con bordo
Allora è il luogo degli zeri della funzione definita dalla sfera aperta (x^2+y^2+z^2<1) ad R che a (x,y,z) associa z
Quindi se ci aggiungi la circonferenza a chiudere il cerchio diventa una varietà con bordo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo