Varie convergenze di serie di funzioni
Salve ragazzi,
Volevo condividere, e risolvere, con voi un dubbio che mi è sorto rivedendo esercizi fatti da me riguardo la convergenza di serie di funzioni. Mi aiuto con un esempio:
Prendiamo:
$\chi_n(x) := {(1,if x in [2n; 2n+1] ),(0, text{altrimenti}):}$
e...
\( \displaystyle
S := \sum_{n=1}^{\infty} n^\alpha \chi_n
\) con $ \alpha in NN$
Puntualmente la serie converge, e siamo molto contenti. ( $AA$ \(\displaystyle \alpha \) )
Uniformemente si vede facilmente dal Test di Weierstrass che converge per \(\displaystyle \alpha < -1\).
In realtà, essendo la serie a supporti disgiunti, se ci restringiamo al caso in cui la serie è decrescente, dunque con \(\displaystyle \alpha < 0 \), e sapendo che \(\displaystyle S - S_n = \sum_{n=N}^{\infty} n^\alpha \chi_n \) , allora possiamo dire che \(\displaystyle ||S-S_n||_{+\infty} \to 0 \) $AA$ \(\displaystyle \alpha < 0 \) perché \(\displaystyle S - S_n \) ha sup per n = N, e dunque abbiamo $\lim_{N \to \infty}1/N$ \(\displaystyle \to 0 \) e la serie converge uniformemente.
Veniamo al mio dubbio:
Se andiamo a valutare la convergenza in \(\displaystyle L^p \) $AA$ $1 <= p < oo$, abbiamo:
\(\displaystyle ||S - S_n||^p_p =\) $(\int_-oo^oo |\sum_{n=N}^\infty n^\alpha \chi_n|^pdx)^(1/p) = sum_{n=N}^oo n^\alpha (\int_(2n)^(2n+1) dx)^(1/p) = sum_{n=N}^oo n^(\alpha)$ ... che converge per $\alpha < -1$.
Mi domando: è possibile che la convergenza uniforme non implichi direttamente la convergenza in $L^p$ ?
Non dovrebbe convergere anche in $L^p$ $AA \alpha < 0 $ ?
Oppure ai termini di $||S - S_n||$ basta andare a zero per convergere in $L^p$ ? Perché, però ?
Grazie per l'attenzione, spero di non essere stato troppo confusionario.
Flavio.
Volevo condividere, e risolvere, con voi un dubbio che mi è sorto rivedendo esercizi fatti da me riguardo la convergenza di serie di funzioni. Mi aiuto con un esempio:
Prendiamo:
$\chi_n(x) := {(1,if x in [2n; 2n+1] ),(0, text{altrimenti}):}$
e...
\( \displaystyle
S := \sum_{n=1}^{\infty} n^\alpha \chi_n
\) con $ \alpha in NN$
Puntualmente la serie converge, e siamo molto contenti. ( $AA$ \(\displaystyle \alpha \) )
Uniformemente si vede facilmente dal Test di Weierstrass che converge per \(\displaystyle \alpha < -1\).
In realtà, essendo la serie a supporti disgiunti, se ci restringiamo al caso in cui la serie è decrescente, dunque con \(\displaystyle \alpha < 0 \), e sapendo che \(\displaystyle S - S_n = \sum_{n=N}^{\infty} n^\alpha \chi_n \) , allora possiamo dire che \(\displaystyle ||S-S_n||_{+\infty} \to 0 \) $AA$ \(\displaystyle \alpha < 0 \) perché \(\displaystyle S - S_n \) ha sup per n = N, e dunque abbiamo $\lim_{N \to \infty}1/N$ \(\displaystyle \to 0 \) e la serie converge uniformemente.
Veniamo al mio dubbio:
Se andiamo a valutare la convergenza in \(\displaystyle L^p \) $AA$ $1 <= p < oo$, abbiamo:
\(\displaystyle ||S - S_n||^p_p =\) $(\int_-oo^oo |\sum_{n=N}^\infty n^\alpha \chi_n|^pdx)^(1/p) = sum_{n=N}^oo n^\alpha (\int_(2n)^(2n+1) dx)^(1/p) = sum_{n=N}^oo n^(\alpha)$ ... che converge per $\alpha < -1$.
Mi domando: è possibile che la convergenza uniforme non implichi direttamente la convergenza in $L^p$ ?
Non dovrebbe convergere anche in $L^p$ $AA \alpha < 0 $ ?
Oppure ai termini di $||S - S_n||$ basta andare a zero per convergere in $L^p$ ? Perché, però ?
Grazie per l'attenzione, spero di non essere stato troppo confusionario.
Flavio.
Risposte
Una risposta al volo: qui stai considerando funzioni definite su tutto \(\mathbb{R}\) e non su un sottoinsieme di misura finita, per cui la convergenza in uno spazio \(L^p\) non è correlata alla convergenza in un altro spazio \(L^q\). In particolare la convergenza uniforme e la convergenza \(L^p\) sono scorrelate.
Hai ragione. Ma mi rimane il dubbio....
Effettivamente la norma $L^p$ della serie in esempio è l'integrale di segmenti con base $1$ e altezza $n^\alpha$ ... Se $\alpha > -1$ l'area sotto ogni segmento decresce troppo lentamente perché converga.
Più che convergere pero'..... non dovrebbe andare proprio a $0$ ?
Effettivamente la norma $L^p$ della serie in esempio è l'integrale di segmenti con base $1$ e altezza $n^\alpha$ ... Se $\alpha > -1$ l'area sotto ogni segmento decresce troppo lentamente perché converga.
Più che convergere pero'..... non dovrebbe andare proprio a $0$ ?
Credo che alla fine sia semplicemente giusto così, come ho fatto io. ( $AA \alpha < -1$ )
... Il resto di una serie va a zero solo se è il resto di una serie convergente. Il fatto che converge uniformemente per più valori di $\alpha$ non vuol dire nulla in questo caso perché siamo su intervalli illimitati.
... Il resto di una serie va a zero solo se è il resto di una serie convergente. Il fatto che converge uniformemente per più valori di $\alpha$ non vuol dire nulla in questo caso perché siamo su intervalli illimitati.
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