Variazione totale
Sia [tex]$f:[0,2]\to \mathbb{R}^2$[/tex] la funzione definita da
[tex]$f(t):=\begin{cases} (t,1) &\text{, se $t\in[0,1[$} \\ (t,2) &\text{, se $t\in[1,2]$}\end{cases}$[/tex].
Come calcolo la variazione totale [tex]$V(f,[0,2])$[/tex]?
[tex]$f(t):=\begin{cases} (t,1) &\text{, se $t\in[0,1[$} \\ (t,2) &\text{, se $t\in[1,2]$}\end{cases}$[/tex].
Come calcolo la variazione totale [tex]$V(f,[0,2])$[/tex]?
Risposte
Se una curva è rettificabile, cosa rappresenta la sua variazione totale?
Risposto a questa domanda hai finito.
Risposto a questa domanda hai finito.
La sua lunghezza...ma come la misuro?
E come vuoi misurarla? 
Suggerimento: hai provato a disegnare la curva? Inoltre, tieni presente che la [tex]$f$[/tex] ha un salto in [tex]$1$[/tex]...
Suggerimento: hai provato a disegnare la curva? Inoltre, tieni presente che la [tex]$f$[/tex] ha un salto in [tex]$1$[/tex]...
Si l'ho disegnata...ma il tratto "di lunghezza uno" che corrisponde al salto va contato? Analiticamente come posso farlo?
Si, ovviamente il tratto verticale va contato.
Per procedere analiticamente, puoi applicare direttamente la definizione.
Prendiamo una decomposizione [tex]$D:=\{ t_0=0
[tex]$V(f;D):=\sum_{k=0}^n |f(t_{k+1})-f(t_k)|= \underbrace{\sum_{k\in I} |f(t_{k+1})-f(t_k)|}_{A} + \underbrace{|f(t_{h+1})-f(t_h)|}_{B} +\underbrace{\sum_{k\in J} |f(t_{k+1})-f(t_k)|}_{C}$[/tex]
in cui:
[tex]$I:=\Big\{ k\in \{ 0,\ldots n\} :\ t_{k+1} \in [0,1[\Big\}$[/tex],
[tex]$J:=\Big\{ k\in \{0,\ldots ,n\} :\ t_k\in [1,2[\Big\}$[/tex]
[tex]$h$[/tex] è l'unico elemento di [tex]$\{ 0,\ldots ,n\}$[/tex] a non essere in [tex]$I\cup J$[/tex], se [tex]$1\notin D$[/tex], oppure è il [tex]$\min J$[/tex], se [tex]$1\in D$[/tex].
Ora evidentemente risulta:
[tex]$A=|f(t_h)-f(0)|=t_h$[/tex],
[tex]$C=|f(2)-f(t_{h+1})|=2-t_{h+1}$[/tex],
[tex]$B=\sqrt{(t_{h+1}-t_h)^2 +1}$[/tex],
cosicché:
[tex]$V(f;D) =2-(t_{h+1}-t_h) +\sqrt{(t_{h+1}-t_h)^2 +1}$[/tex];
infine è ovvio che [tex]$0\leq t_{h+1}-t_h\leq \text{ampiezza} (D)$[/tex] però, infittendo la decomposizione si ha [tex]$\text{ampiezza} (D) \to 0^+$[/tex], cosicché [tex]$t_{h+1}-t_h\to 0$[/tex] e dunque:
[tex]$V(f;[0,2])=\lim_{\text{ampiezza} (D)\to 0^+} V(f;D) =2+1=3$[/tex].
Nota che la componente [tex]$B$[/tex] della variazione di [tex]$f$[/tex] rispetto alla decomposizione [tex]$D$[/tex], quando infittisci la decomposizione, si avvicina sempre più all'ampiezza del salto di [tex]$f$[/tex] cioè alla quantità [tex]$|f(1^+)-f(1^-)|$[/tex].
Per procedere analiticamente, puoi applicare direttamente la definizione.
Prendiamo una decomposizione [tex]$D:=\{ t_0=0
[tex]$V(f;D):=\sum_{k=0}^n |f(t_{k+1})-f(t_k)|= \underbrace{\sum_{k\in I} |f(t_{k+1})-f(t_k)|}_{A} + \underbrace{|f(t_{h+1})-f(t_h)|}_{B} +\underbrace{\sum_{k\in J} |f(t_{k+1})-f(t_k)|}_{C}$[/tex]
in cui:
[tex]$I:=\Big\{ k\in \{ 0,\ldots n\} :\ t_{k+1} \in [0,1[\Big\}$[/tex],
[tex]$J:=\Big\{ k\in \{0,\ldots ,n\} :\ t_k\in [1,2[\Big\}$[/tex]
[tex]$h$[/tex] è l'unico elemento di [tex]$\{ 0,\ldots ,n\}$[/tex] a non essere in [tex]$I\cup J$[/tex], se [tex]$1\notin D$[/tex], oppure è il [tex]$\min J$[/tex], se [tex]$1\in D$[/tex].
Ora evidentemente risulta:
[tex]$A=|f(t_h)-f(0)|=t_h$[/tex],
[tex]$C=|f(2)-f(t_{h+1})|=2-t_{h+1}$[/tex],
[tex]$B=\sqrt{(t_{h+1}-t_h)^2 +1}$[/tex],
cosicché:
[tex]$V(f;D) =2-(t_{h+1}-t_h) +\sqrt{(t_{h+1}-t_h)^2 +1}$[/tex];
infine è ovvio che [tex]$0\leq t_{h+1}-t_h\leq \text{ampiezza} (D)$[/tex] però, infittendo la decomposizione si ha [tex]$\text{ampiezza} (D) \to 0^+$[/tex], cosicché [tex]$t_{h+1}-t_h\to 0$[/tex] e dunque:
[tex]$V(f;[0,2])=\lim_{\text{ampiezza} (D)\to 0^+} V(f;D) =2+1=3$[/tex].
Nota che la componente [tex]$B$[/tex] della variazione di [tex]$f$[/tex] rispetto alla decomposizione [tex]$D$[/tex], quando infittisci la decomposizione, si avvicina sempre più all'ampiezza del salto di [tex]$f$[/tex] cioè alla quantità [tex]$|f(1^+)-f(1^-)|$[/tex].
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