Variazione potenziale

[ludwigZero]

Ciao a tutti.
E' una giornata intera che sbatto la testa su questo esercizio e ho ceduto nel chiedere a voi aiuto!

riporto il testo:
si supponga che in una certa regione di spazio il potenziale elettrico V sia
$V(x,y,z) = 5 x^2 - 3 xy + x y z$

(1) calcolare il tasso variazionale del potenziale in $P(3,4,5)$ nella direzione del vettore $v = (1,1,-1)$
(2) In quale direzione V cresce più velocemente in P?
(3) qual è il massimo tasso di crescita in P?

(1)
dato che V è uno scalare, trovo tramite l'operatore gradiente, trovo il vettore campo elettrico
$E = - (-d/dx , d/dy , d/dz) (5 x^2 - 3 xy + x y z) = - (-10x - 3y + yz, -3x + xz, xy) $

calcolo nel punto dato e risulta:
$E(3,4,5) = -(38,6,12)$

il tasso variazionale del potenziale dovrebbe essere il prodotto scalare tra:
$-(38,6,12)(1,1,-1)= -30$

non ho mai sentito prima d'ora il termine tasso variazionale

(2) e (3) non so come approcciarmi, qualche idea?

[Quinzio]

2) Nella direzione del gradiente
3) In tutte le direzioni ortogonali al gradiente.

[ludwigZero]

quindi:
(2) $v = E/|E|$

(3) $x* E_x + y* E_y + z* E_z = 0$ ? cioè rimane così? (della serie: non posso calcolarle tutte, giusto?)


grazie

[Quinzio]

Scusami, non avevo letto bene la 3).... !!

(3) qual è il massimo tasso di crescita in P?

ovviamente la mia risposta non ha senso...

invece è $||\nabla||$ calcolato in P.