Variazione delle costanti "Semplificare le costanti arbitrarie"

[davidinho92]

Sto tentano di risolvere questa equazione differenziale di secondo ordine con il metodo della variazione delle costanti
\(\displaystyle u''(t)-u(t)=-4e^{-t} \)
soltanto arrivato verso la fine mi blocco, ho provato quindi a risolverlo con Wolfram Alpha e questi sono gli ultimi passi che esegue:

The general solution is given by:
\(\displaystyle u(t)=u_c(t)+u_p(t) = C_1 e ^{-t}+C_2e^t+e^{-t}(2t+1) \)

Simplify the arbitrary constants:
\(\displaystyle u(t) = 2e^{-t}+C_1e^{-t}+C_2e^t
\)

Ora mi rendo conto che probabilmente è una carenza forse anche importante, ma non capisco proprio come esegue questa semplificazione...

[@melia]

Se $C_1$ è un numero reale qualsiasi, anche il suo successivo lo è, quindi non ha senso scrivere $C_1 +1$

[davidinho92]

perdonami ma non penso di aver capito, esattamente da dove salta fuori \(\displaystyle C_1+1 \) ?

[@melia]

Dalla moltiplicazione
$u(t)=C_1e^-t+C_2e^t+e^-t(2t+1)=C_1e^-t+C_2e^t+2te^-t+e^-t=(C_1+1)e^-t+C_2e^t+2te^-t$