Variante della metrica della convergenza uniforme, compattezza e completezza

[Polcio]

Buonasera, sono incappato in un quesito abbastanza delicato.

Sia [tex]X[/tex] l'insieme delle funzioni di classe [tex]C^0([0,1];\mathbb{R})[/tex] derivabili su [tex]]0,1[[/tex].
Per [tex]f, g[/tex] in [tex]X[/tex] sia inoltre [tex]d(f,g) = \sup_{x\in[0,1]} \left|g(x)-f(x)\right| + \sup_{x\in]0,1[} \left|g'(x)-f'(x)\right|[/tex].
Dire se:

- [tex](X,d)[/tex] è uno spazio metrico completo.
- [tex](X,d)[/tex] è uno spazio metrico compatto.
[/list:u:12iff4sr]
In pratica ho la distanza della convergenza uniforme a cui aggiungo il sup della distanza tra le derivate.

Prima di tutto ho controllato se è una metrica, visto che il professore ha l'abitudine di inserire funzioni che non sono distanze e quindi rendere immediatamente false entrambe le affermazioni.



1) [tex]\forall f,g \in X \quad\quad\quad d(f,g) \geq 0[/tex]
2) [tex]\forall f,g \in X \quad\quad\quad d(f,g) = 0 \iff f = g[/tex]
3) [tex]\forall f,g \in X \quad\quad\quad d(f,g) = d(g,f)[/tex]
4) [tex]\forall f,g,h \in X \quad\quad d(f,h) \leq d(f,g)+d(g,h)[/tex]

1) La prima è ovvia, [tex]d[/tex] è somma di sup di valori [tex]\geq 0[/tex].
2) La seconda è vera perché se [tex]f = g[/tex] si ha una somma tra sup di funzioni identicamente nulle, cioè [tex]0[/tex].
Se invece la distanza vale [tex]0[/tex], essendoci una somma tra valori assoluti, deve necessariamente accadere che [tex]\sup_{x\in[0,1]} \left|g(x)-f(x)\right| = 0[/tex] e [tex]\sup_{x\in]0,1[} \left|g'(x)-f'(x)\right| = 0[/tex]. L'unica possibilità è che le funzioni siano uguali in ogni punto. Ciò non sarebbe necessariamente vero per le derivate, perché basterebbe prendere due funzioni che differiscono per una costante e la differenza tra le loro derivate sarebbe nulla (pur essendo le funzioni di partenza diverse). Ma in [tex]d[/tex] viene anche sommata la distanza della convergenza uniforme che soddisfa [tex]d(f,g) = 0 \iff f = g[/tex].
3) La terza è ovvia, in quanto sono valori assoluti.
4) La quarta vale, basta partire da [tex]d(f,h)[/tex], aggiungere e togliere [tex]g[/tex] e maggiorare.
[/list:u:12iff4sr]

Quindi, a meno che io non abbia fatto errori, [tex](X,d)[/tex] è spazio metrico.


Per quanto riguarda la compattezza ho notato che in [tex]\mathbb{R}\quad X[/tex] compatto [tex]\iff X[/tex] chiuso e limitato.
Allora ho scelto [tex]g(x) = 2\sqrt{x}\sqrt{1-x}[/tex] e [tex]f(x) = \sqrt{x}\sqrt{1-x}[/tex], entrambe funzioni continue in [tex][0,1][/tex] ma derivabili solo in [tex]]0,1[[/tex].
Però, [tex]diam(X) = \sup_{f,g \in X} d(f,g) = +\infty[/tex] perché basta prendere le [tex]f, g[/tex] sopra definite e il sup delle distanze delle loro derivate (usando la distanza [tex]d[/tex] di questo esercizio) è [tex]+\infty[/tex].


A parte il fatto che non so se fin qui il mio ragionamento sia corretto, non so proprio come procedere con la completezza. Avrei solo un'idea: devo forse trovare una successione (di funzioni) di Cauchy che non abbia limite in [tex]C^0([0,1];\mathbb{R})[/tex]? (Ovvero che ha limite puntuale discontinuo?)

Ovviamente se [tex]d[/tex] non è distanza l'esercizio termina molto prima, spero con tutto il cuore sia così.

Thanks in advance.

[otta96]

$d$ non è una distanza.

[Polcio]

Ecco qua! Immaginavo di aver sbagliato nella dimostrazione, ma non so dove.

[otta96]

Qual è la definizione di distanza?

[Polcio]

Una distanza è una funzione [tex]d : X\times X \to \mathbb{R}[/tex] che a una coppia [tex](x,y)[/tex] associa un valore reale [tex]d(x,y)[/tex], con le proprietà che ho scritto nella prima domanda (non negatività, annullamento, simmetria e disuguaglianza triangolare).

Forse ho capito perché questa [tex]d[/tex] non è distanza... Posso trovare funzioni tali che la loro [tex]d[/tex] non è un valore [tex]\in\mathbb{R}[/tex]. Giusto?

[otta96]

Si.

[solaàl]

Va beh, una metrica, una metrica generalizzata... la finitezza è una condizione un po' artificiale. (E anche la simmetria...)