Vari svliluppi e limiti Taylor e McLaurin
Buongiorno,
tanto per cambiare conitnuo ad avere problemi con l'analisi matematica.
Oggi mi piacerebbe capire definitivamente come funzionano gli sviluppi di Taylor e McLaurin ma per il momento ancora non ci siamo
Ho iniziato da McLaurin (Taylor centrato in X0 = 0) per semplicità, dopodichè magari con il vostro aiuto proverò qualche sviluppo di Taylor. Diciamo che l'argomento l'ho già studiato ed affrontato, quindi non sono a zero, ma pur essendo un argomento che in teoria dovrebbe essere abbastanza semplice e meccanico, non mi entra in testa.
Comunque al momento questo è il mio problema.
Ho provato a sviluppare McLaurin per la funzione $ y = log ( 1 + 2x + 3x^2) $
1) sviluppo noto $ -> log ( 1 + x ) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/x + x^5 / 5 + ...$ ometto gli $o$ perchè il prof non ce li richiede
2) Sostituisco $ x $ con $ 2x $ ed ottengo quanto segue:
$ log ( 1 + 2x ) = 2x - 2x^2 + 8/3x^3 - 4x^4 + 32/5x^5 + .....$
Ora il problema è che non capisco come andare oltre, cioè quel $3x^2$ non so come trattarlo
Se riesco a capiere concettualmente questa cosa in teoria poi su McLaurin per gli esercizi che mi vengono richiesti non credo ci sia molto altro da capire....almeno spero!!!! Da solo però non ci arrivo proprio, è un concetto che mi sfugge completamente
tanto per cambiare conitnuo ad avere problemi con l'analisi matematica.
Oggi mi piacerebbe capire definitivamente come funzionano gli sviluppi di Taylor e McLaurin ma per il momento ancora non ci siamo
Ho iniziato da McLaurin (Taylor centrato in X0 = 0) per semplicità, dopodichè magari con il vostro aiuto proverò qualche sviluppo di Taylor. Diciamo che l'argomento l'ho già studiato ed affrontato, quindi non sono a zero, ma pur essendo un argomento che in teoria dovrebbe essere abbastanza semplice e meccanico, non mi entra in testa.
Comunque al momento questo è il mio problema.
Ho provato a sviluppare McLaurin per la funzione $ y = log ( 1 + 2x + 3x^2) $
1) sviluppo noto $ -> log ( 1 + x ) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/x + x^5 / 5 + ...$ ometto gli $o$ perchè il prof non ce li richiede
2) Sostituisco $ x $ con $ 2x $ ed ottengo quanto segue:
$ log ( 1 + 2x ) = 2x - 2x^2 + 8/3x^3 - 4x^4 + 32/5x^5 + .....$
Ora il problema è che non capisco come andare oltre, cioè quel $3x^2$ non so come trattarlo
Se riesco a capiere concettualmente questa cosa in teoria poi su McLaurin per gli esercizi che mi vengono richiesti non credo ci sia molto altro da capire....almeno spero!!!! Da solo però non ci arrivo proprio, è un concetto che mi sfugge completamente
Risposte
Se poni \(y=2x + 3x^2\) ti ritrovi con la funzione \(f(y) = \log(1+y)\) di cui lo sviluppo in serie di McLaurin hai riportato.
"Delirium":
Se poni \(y=2x + 3x^2\) ti ritrovi con la funzione \(f(y) = \log(1+y)\) di cui lo sviluppo in serie di McLaurin hai riportato.
Perfetto. Ci sono riuscito
Lo sviluppo che ottengo è:
$ log (1 + 2x + 3x^2) = 2x + x^2 - 10/3x^3 + 7/2 x^4 + ...... $
Ora ne provo uno un pò più complesso e vediamo che ne esce...provo a sviluppare sempre i primi 4 termini....
$ y = sen (e^(2x)-1) + cos(3x) $
Giusto per prendere la strada giusta:
1) considero lo sviluppo noto di $e^x$
2) sviluppo con $e^(2x)$
3) il $-1$ lo aggiungo allo sviluppo
4) prendo lo sviluppo del di $senx$ ed alla $x$ sostituisco lo sviluppo di $e^(2x)-1$
5) sviluppo $ cos (3x) $
6) metto insieme tutti i termini
E' corretto il procedimento?
Così se mi riesce questo, poi posso passare oltre e provare eventualmente a risolvere qualche limite sempre con Mc_Laurin (purtroppo mi tocca correre con gli argomenti, ma non ho più davvero tempo, ho l'esame a brevissimo)
Anche perchè poi iniziano i guai con TAYLOR
Aggiornamento.....
Sono arrivato quasi alla conclusione...i primi tre termini dello sviluppo sono tutti corretti...non mi esce il quarto....
Il problema verificando con wolfram è nel passaggio tra lo sviluppo di $ e^(2x)-1 $ a quello di $ sen( e^(2x)-1) $
In particolare mi ritrovo che:
$e^(2x)-1= 2x + 2x^2 + 4/3x^3 + 2/3x^4+...$
$sen( e^(2x) - 1 ) = (2x + 2x^2 + 4/3x^3 + 2/3x^4+) - ((2x + 2x^2 + 4/3x^3 + 2/3x^4+)/(3!))^3 ...$
Nel cubo del quadrinomio considero solo il primo termine$2x$ (che mi diviene $-4/3 x^3$ e mi annulla il precedente $4/3 x^3$) tanto gli altri termini salgono oltre il quarto grado e doventano ininfluenti ottenendo:
$ sen( e^(2x) - 1 ) = 2x + 2x^2 + 2/3x^4 + .... $
mentre wolfram mi riporta
$ sen( e^(2x) - 1 ) = 2x + 2x^2 - 10/3x^4 + .... $
Sono arrivato quasi alla conclusione...i primi tre termini dello sviluppo sono tutti corretti...non mi esce il quarto....
Il problema verificando con wolfram è nel passaggio tra lo sviluppo di $ e^(2x)-1 $ a quello di $ sen( e^(2x)-1) $
In particolare mi ritrovo che:
$e^(2x)-1= 2x + 2x^2 + 4/3x^3 + 2/3x^4+...$
$sen( e^(2x) - 1 ) = (2x + 2x^2 + 4/3x^3 + 2/3x^4+) - ((2x + 2x^2 + 4/3x^3 + 2/3x^4+)/(3!))^3 ...$
Nel cubo del quadrinomio considero solo il primo termine$2x$ (che mi diviene $-4/3 x^3$ e mi annulla il precedente $4/3 x^3$) tanto gli altri termini salgono oltre il quarto grado e doventano ininfluenti ottenendo:
$ sen( e^(2x) - 1 ) = 2x + 2x^2 + 2/3x^4 + .... $
mentre wolfram mi riporta
$ sen( e^(2x) - 1 ) = 2x + 2x^2 - 10/3x^4 + .... $
Anche se non ho ancora concluso del tutto gli esercizi precedenti, sono passato allo step successivo, ovvero calcolo dei LImiti con MLaurin.
Tutto perfetto al momento, tranne che mi sono impantanato con i limiti, come un pollo.
In pratica c'era da calcolare il seguente limite:
$lim_(x->0) log(1+x/2)/(sen(3x))$
Ho sviluppato numeratore e denominatore fermandomi al secondo termine dello sviluppo (come mi sembra venga normalmente consigliato), ottenendo:
$ log(1+x/2) = x/2 - x^2/8 + .... $
$sen(3x) = 3x + 9/2x^3 + .... $
$lim_(x->0) log(1+x/2)/(sen(3x)) = lim_(x->0) (x/2 - x^2/8)/(3x+9/2x^3) = ????$
Roba da non credere....ora non mi ricordo più come si concludono i limiti quando ho a che fare con gli infinitesimi (anzichè con gli infiniti dove le asintoticità mi sono chiarissime)!!!!
Non è possibile.....
Per l'esattezza non ricordo ad esempio tra $x$ ed $x^2$ quale elemento tende a zero più velocemente e quindi può essere considerato come termine predominante (o popolarmente "sopravvivente per ultimo" ) per l'asintoticità .
Tutto perfetto al momento, tranne che mi sono impantanato con i limiti, come un pollo.
In pratica c'era da calcolare il seguente limite:
$lim_(x->0) log(1+x/2)/(sen(3x))$
Ho sviluppato numeratore e denominatore fermandomi al secondo termine dello sviluppo (come mi sembra venga normalmente consigliato), ottenendo:
$ log(1+x/2) = x/2 - x^2/8 + .... $
$sen(3x) = 3x + 9/2x^3 + .... $
$lim_(x->0) log(1+x/2)/(sen(3x)) = lim_(x->0) (x/2 - x^2/8)/(3x+9/2x^3) = ????$
Roba da non credere....ora non mi ricordo più come si concludono i limiti quando ho a che fare con gli infinitesimi (anzichè con gli infiniti dove le asintoticità mi sono chiarissime)!!!!
Non è possibile.....
Per l'esattezza non ricordo ad esempio tra $x$ ed $x^2$ quale elemento tende a zero più velocemente e quindi può essere considerato come termine predominante (o popolarmente "sopravvivente per ultimo"
) per l'asintoticità .
Semplicemente per calcolare il limite in questione non hai bisogno di sviluppare in serie di taylor le funzioni interessate oltre il primo termine, cio corrisponde agli asintotici, $log (1+x/2)~x/2$, ed $sin (3x)~3x $ per cui:
$lim_(x->0)(log(1+x/2))/(sin (3x)) $ $=lim_(x->0)(x/2)/(3x) $ $=lim_(x->0)x/(6x)=1/6$;☺
$lim_(x->0)(log(1+x/2))/(sin (3x)) $ $=lim_(x->0)(x/2)/(3x) $ $=lim_(x->0)x/(6x)=1/6$;☺
Se non ti offendi mi copio direttamente il tuo svolgimento...anche se poi avrò modo successivamente di comprendere meglio
Tanto sono piantato in un latro limite simile:
$ lim_(x->0) (x sen^3( x )) / (1 - cos(x^2)) $
Il problema prima ancora di arrivare al limite lo ho con sen^3(x):
$senx = x - x^3/6 + .... $
$ sen^3(x) = x^3 - 3/6x^x^3 + 3/36xx^6-x^9/216 = x^3 - x^5/2 + x^7/12 - x^9/216 $
e sono completamente fuori strada rispetto a wolfram (esclusi i primi due termini)
Wolfram $ sen^3(x) = x^3 - x^5/2 + 13/120 x^7 - 41/3024x^9 $
Mi viene il dubbio che non mi tornino perchè io ho fatto solo il cubo dei due termini, mentre magari wolfram prende anche il terzo termine etc...
Fermo restando che anche in questo caso devo solo calcolare il limite con McLaurin, l'esercizio non chiede altro
Taylor e McLaurin si staranno rivoltando nella tomba a veder queste cose, ma non riesco a venirne mai fuori bene, ogni esercizio presenta un problema nuovo
Tanto sono piantato in un latro limite simile:
$ lim_(x->0) (x sen^3( x )) / (1 - cos(x^2)) $
Il problema prima ancora di arrivare al limite lo ho con sen^3(x):
$senx = x - x^3/6 + .... $
$ sen^3(x) = x^3 - 3/6x^x^3 + 3/36xx^6-x^9/216 = x^3 - x^5/2 + x^7/12 - x^9/216 $
e sono completamente fuori strada rispetto a wolfram (esclusi i primi due termini)
Wolfram $ sen^3(x) = x^3 - x^5/2 + 13/120 x^7 - 41/3024x^9 $
Mi viene il dubbio che non mi tornino perchè io ho fatto solo il cubo dei due termini, mentre magari wolfram prende anche il terzo termine etc...
Fermo restando che anche in questo caso devo solo calcolare il limite con McLaurin, l'esercizio non chiede altro
Taylor e McLaurin si staranno rivoltando nella tomba a veder queste cose, ma non riesco a venirne mai fuori bene, ogni esercizio presenta un problema nuovo
Per quanto riguarda l'ultimo limite problema risolto, nel senso che alla fine prendo solo i primi due termini ed il risultato del limite torna comunque corretto
Ovvero:
$ lim_(x->0) (x sen^3( x )) / (1 - cos(x^2)) = [...] = (2x^4)/x^4 = 2 $
Peccato non sia ancora riuscito a risolvere il problema precedente
Ovvero:
$ lim_(x->0) (x sen^3( x )) / (1 - cos(x^2)) = [...] = (2x^4)/x^4 = 2 $
Peccato non sia ancora riuscito a risolvere il problema precedente
"Alex_SSRI":
Aggiornamento.....
Sono arrivato quasi alla conclusione...i primi tre termini dello sviluppo sono tutti corretti...non mi esce il quarto....
Il problema verificando con wolfram è nel passaggio tra lo sviluppo di $ e^(2x)-1 $ a quello di $ sen( e^(2x)-1) $
In particolare mi ritrovo che:
$e^(2x)-1= 2x + 2x^2 + 4/3x^3 + 2/3x^4+...$
$sen( e^(2x) - 1 ) = (2x + 2x^2 + 4/3x^3 + 2/3x^4+) - ((2x + 2x^2 + 4/3x^3 + 2/3x^4+)/(3!))^3 ...$
Nel cubo del quadrinomio considero solo il primo termine$2x$ (che mi diviene $-4/3 x^3$ e mi annulla il precedente $4/3 x^3$) tanto gli altri termini salgono oltre il quarto grado e doventano ininfluenti ottenendo:
$ sen( e^(2x) - 1 ) = 2x + 2x^2 + 2/3x^4 + .... $
mentre wolfram mi riporta
$ sen( e^(2x) - 1 ) = 2x + 2x^2 - 10/3x^4 + .... $
Buonasera qualcuno riesce a spiegarmi per quale cavolo di strano motivo non riesco a risolvere questo esercizio.
Polinomio di Taylor (centrato in $ x_0 = 1$) sino al terzo grado di $y = logx/x^(3/2)$
Ho tradotto il tutto in $y = logx * x^(-3/2)$ e ho sviluppato...
$ log x = (x-1) - 1/2(x-1)^2+1/3(x-1)^3+...$ (soluzione confermata anche ad wolfram)
$ x^(-3/2) = 1 - 3/2(x-1) + 15/8 (x-1)^2 - 35/16 (x-1)^3 $ (soluzione confermata anche ad wolfram)
Il problema che se provo a sviluppare la soluzione finale mi escono risultati non coincidenti con wolfram
Soluzione wolfram $ (x-1) - 2(x-1)^2 - 71/24 (x-1)^3 +.... $
Non riesco proprio a capire come moltiplicare tra loro i vari termini per arrivare a tale risultato
Polinomio di Taylor (centrato in $ x_0 = 1$) sino al terzo grado di $y = logx/x^(3/2)$
Ho tradotto il tutto in $y = logx * x^(-3/2)$ e ho sviluppato...
$ log x = (x-1) - 1/2(x-1)^2+1/3(x-1)^3+...$ (soluzione confermata anche ad wolfram)
$ x^(-3/2) = 1 - 3/2(x-1) + 15/8 (x-1)^2 - 35/16 (x-1)^3 $ (soluzione confermata anche ad wolfram)
Il problema che se provo a sviluppare la soluzione finale mi escono risultati non coincidenti con wolfram
Soluzione wolfram $ (x-1) - 2(x-1)^2 - 71/24 (x-1)^3 +.... $
Non riesco proprio a capire come moltiplicare tra loro i vari termini per arrivare a tale risultato
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