Vari limiti.
Ciao ragazzi, sto cercando di rivedere un po' di esercizi per l'esame di analisi1, ripartendo dalle basi. Ho notato di avere delle lacune sulla determinazione di limiti, che sono probabilmente anche banali.
$lim_(x->0)(|x|/x) $, è una forma indeterminata (0/0), non mi viene in mente proprio nessuna tecnica per risolverlo....
$lim_(x\to \+infty)[x]-sqrtx
$lim_(x\to \-infty) (e^(2+x)-x^2)/(root(4)(x^4+3)$, è del tipo meno infinito su + infinito, come posso fare per risolverlo? Cioè potrei razionalizzare? Se sì come?
$lim_(x->0-)(|x|+x)/(2x^2)$, anche questo 0/0 e non ho idea di come impostare un procedimento risolutivo...
$lim_(x\to \+infty) (sin(x))/(sqrt(x+cos(x))$ Il limite di sin(x) per x che tende a + infinito non esiste, in quanto il valore del seno è oscillante, idem per il coseno...bisogna usare i limiti notevoli?
Grazie a chi potrà darmi almeno qualche indizio per riuscire a giiungere a determinare i valori di questi limiti.
$lim_(x->0)(|x|/x) $, è una forma indeterminata (0/0), non mi viene in mente proprio nessuna tecnica per risolverlo....
$lim_(x\to \+infty)[x]-sqrtx
$lim_(x\to \-infty) (e^(2+x)-x^2)/(root(4)(x^4+3)$, è del tipo meno infinito su + infinito, come posso fare per risolverlo? Cioè potrei razionalizzare? Se sì come?
$lim_(x->0-)(|x|+x)/(2x^2)$, anche questo 0/0 e non ho idea di come impostare un procedimento risolutivo...
$lim_(x\to \+infty) (sin(x))/(sqrt(x+cos(x))$ Il limite di sin(x) per x che tende a + infinito non esiste, in quanto il valore del seno è oscillante, idem per il coseno...bisogna usare i limiti notevoli?
Grazie a chi potrà darmi almeno qualche indizio per riuscire a giiungere a determinare i valori di questi limiti.
Risposte
Allora, il primo limite non esiste, perchè il limite destro è diverso dal limite sinistro. Per risolverlo, prova a studiare il modulo della x, e vedrai che banalmente ha un punto di discontinuità di tipo salto in 0, di ampiezza 2.
nel secondo, non devi farti confondere da quel "parte intera di x", e pensare che è crescente su $[1, +oo)$
nel terzo, per evitare di confonderti puoi cambiare il segno alla x e studiarlo per $+oo$, ricordati di mettere in evidenza i termini più rilevanti e che se estrai la x dalla radice a denominatore, devi trattarla col valore assoluto perchè l'indice della radice è pari. Noterai che sopra domina $e^-x$ e sotto $|x|$ (cambiando la x di segno come ho detto sopra).
il quarto, mi pare che studiando il modulo, la funzione è costante per $x<=0$, quindi, non c'è forma di indeterminazione.
l'ultimo, puoi usare i limiti notevoli dividendo sopra e sotto per x, e a primo sguardo dovrebbe tornare. Però, essendo un limite a $+oo$, è molto più furbo utilizzare il teorema dei carabinieri. Con quello il risultato sarà pressochè immediato.
nel secondo, non devi farti confondere da quel "parte intera di x", e pensare che è crescente su $[1, +oo)$
nel terzo, per evitare di confonderti puoi cambiare il segno alla x e studiarlo per $+oo$, ricordati di mettere in evidenza i termini più rilevanti e che se estrai la x dalla radice a denominatore, devi trattarla col valore assoluto perchè l'indice della radice è pari. Noterai che sopra domina $e^-x$ e sotto $|x|$ (cambiando la x di segno come ho detto sopra).
il quarto, mi pare che studiando il modulo, la funzione è costante per $x<=0$, quindi, non c'è forma di indeterminazione.
l'ultimo, puoi usare i limiti notevoli dividendo sopra e sotto per x, e a primo sguardo dovrebbe tornare. Però, essendo un limite a $+oo$, è molto più furbo utilizzare il teorema dei carabinieri. Con quello il risultato sarà pressochè immediato.
Scusa l'ignoranza, ma riguardo alla funzione valore assoluto, ovvero |x|, che discontinuità presenta e perché? Cioè il limite destro e sinistro per x che tendono a 0 non sono entrambi 0?
"agomath":
Scusa l'ignoranza, ma riguardo alla funzione valore assoluto, ovvero |x|, che discontinuità presenta e perché? Cioè il limite destro e sinistro per x che tendono a 0 non sono entrambi 0?
Se parli solo di $|x|$ sì, ma in questo caso la devi contestualizzare nella funzione che stavi studiando....
in particolare,
$|x|/x = sgn(x)$ che è uguale a $1$ per $x>0$ e uguale a $-1$ per $x<0$. Non è definita in $0$.
Quindi modulo di x in sè per sè non presenta discontinuità?
La funzione $|x|$ è continua, basta che provi a disegnare il grafico te ne accorgi anche visivamente...
Ok ok, stavo semplicemente andando in confusione: non è derivabile in x=0, ma è continua giusto?
"agomath":
Ok ok, stavo semplicemente andando in confusione: non è derivabile in x=o, ma è continua giusto?
Giusto!
apposto 
"ObServer":
Noterai che sopra domina $e^-x$ e sotto $|x|$
Questo non mi sembra esatto, l'esponenziale tende a zero! Piuttosto per il terzo limite usa le uguaglianze asintotiche, così ti semplifichi molto la vita!
Per il quarto limite, se applichi la definizione di "modulo" vedrai che non c'è forma indeterminata.
Il quinto viene facilmente moltiplicando per $x/x$ e con gli ordini di infinito, senza il teorema dei carabinieri
Ragazzi, grazie per le risposte. Continuando la preparazione, sono passato ai limiti di successioni, non sto cercando di approfondire troppo questi esercizi anche perché sui precedenti appelli la prof non ha mai messo esercizi di questo tipo. Semmai limiti risolvibili con Taylor(quando ha messo esercizi sui limiti), mentre dà molta importanza allo studio di funzione e alle tecniche di integrazione, oltre che alle serie.
La maggior parte degli esercizi sui limti di successioni non mi danno problemi, ma alcuni non ho saputo risolverli... Ve li posto...
$\lim_{n \to \infty}-1/n$ Non sono riuscito a scriverlo, ma sarebbe parte intera di ciò.La funzione parte intera vale il numero intero <= della variabile...-(1/n) tende a 0, la parte intera di questa successione non dovrebbe essere 0?(non viene considerato lo zero come un numero intero?)
$\lim_{n \to \infty}sin(n)*(sqrt(n^2+n-1)-sqrt(n^2-n))/logn$
Qui ho un qualcosa che oscilla tra -1 e 1 per una forma indeterminata, come agire?
$\lim_{n \to \infty}n*(e^(1/n)-1)$ è una forma indeterminata del tipo infinito per zero... e anche qui non mi viene in mente nessun modo per poter stabilire il valore del suddetto limite...
La maggior parte degli esercizi sui limti di successioni non mi danno problemi, ma alcuni non ho saputo risolverli... Ve li posto...
$\lim_{n \to \infty}-1/n$ Non sono riuscito a scriverlo, ma sarebbe parte intera di ciò.La funzione parte intera vale il numero intero <= della variabile...-(1/n) tende a 0, la parte intera di questa successione non dovrebbe essere 0?(non viene considerato lo zero come un numero intero?)
$\lim_{n \to \infty}sin(n)*(sqrt(n^2+n-1)-sqrt(n^2-n))/logn$
Qui ho un qualcosa che oscilla tra -1 e 1 per una forma indeterminata, come agire?
$\lim_{n \to \infty}n*(e^(1/n)-1)$ è una forma indeterminata del tipo infinito per zero... e anche qui non mi viene in mente nessun modo per poter stabilire il valore del suddetto limite...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo