Vari Integrali Indefiniti - Consigli Risolutivi
Buongiorno Ragazzi, mi scuso per le molteplici richieste presenti in questo thread ma siamo alle battute finali pre esame e se possibile oggi vorrei terminare il discorso integrali in maniera definitiva (anche perchè poi ho solo 24/48 ore per dedicarmi a Taylor, Raggio di Convergenza ed altre cosette che non mi sono chiare per niente). E' da ieri pomeriggio che provo ma non mi tornano i conti in nessuno dei seguenti.
1) $int\ (sen2x)/(1+cosx) dx = (2senxcosx) / (1+cosx) dx =..... $ dopodichè qualunque strategia adotti non mi porta al risultato sperato
2) $ int\ (1-sqrt(x))/(1+sqrt(x)+x)dx $
$t = sqrt(x) -> x = t^2 -> dx = 2t dt $
$ int\ (1-sqrt(x))/(1+sqrt(x)+x)dx = int\ (1-t)/(1+t+t^2) 2t dt = int\ (2t-2t^2)/(1+t+t^2) dt =....$ da questo punto in poi qualunque strada prendo non è corretta
3)$ int\ dx/cosx $ ..... come sopra ogni strada non mi porta da nessuna parte....nonostante credo ci sia molta compatibilità risolutiva con l'integrale del punto 1)
Ce ne sarebbero altri due che non mi tornano, ma prima di postarveli voglio sbatterci ancora un pò la testa da solo....
Nel frattempo qualunque piccolo suggerimento sui precedenti tre oltre che essere ben accetto al momento direi che è di fondamentale importanza (considerando i tempi ristretti che ancora una volta devo affrontrare pre esame)
Grazie
1) $int\ (sen2x)/(1+cosx) dx = (2senxcosx) / (1+cosx) dx =..... $ dopodichè qualunque strategia adotti non mi porta al risultato sperato
2) $ int\ (1-sqrt(x))/(1+sqrt(x)+x)dx $
$t = sqrt(x) -> x = t^2 -> dx = 2t dt $
$ int\ (1-sqrt(x))/(1+sqrt(x)+x)dx = int\ (1-t)/(1+t+t^2) 2t dt = int\ (2t-2t^2)/(1+t+t^2) dt =....$ da questo punto in poi qualunque strada prendo non è corretta
3)$ int\ dx/cosx $ ..... come sopra ogni strada non mi porta da nessuna parte....nonostante credo ci sia molta compatibilità risolutiva con l'integrale del punto 1)
Ce ne sarebbero altri due che non mi tornano, ma prima di postarveli voglio sbatterci ancora un pò la testa da solo....
Nel frattempo qualunque piccolo suggerimento sui precedenti tre oltre che essere ben accetto al momento direi che è di fondamentale importanza (considerando i tempi ristretti che ancora una volta devo affrontrare pre esame)
Grazie
Risposte
Per il primo direi $t=cosx rarr dt=-sinx dx$. 
Per il secondo fai la divisione tra i polinomi.
Per il terzo un trucchetto direttamente dall amico tommik:
$int 1/cosx dx = int cosx/(cos^2x)dx$ ... B)
Per il secondo fai la divisione tra i polinomi.
Per il terzo un trucchetto direttamente dall amico tommik:
$int 1/cosx dx = int cosx/(cos^2x)dx$ ... B)
"andar9896":
Per il primo direi $t=cosx rarr dt=-sinx dx$.
Il primo è fatto
"andar9896":
Per il secondo fai la divisione tra i polinomi.
QUi ancora non sono riuscito bene a capire cosa dividere
"andar9896":
Per il terzo un trucchetto direttamente dall amico tommik:
$int 1/cosx dx = int cosx/(cos^2x)dx$ ... B)
Qui mi sembra di capire che abbia moltiplicato e diviso per $cosx$...ma è un'operazione lecita????
Intanto provo a vedere se riesco a sviluppare qualcosa con il trucchetto
Ti aggiorno....nel frattempo grazie per la celere risposta.... è una maledetta corsa contro il tempo
Una volta qui $2 int (t-t^2)/(t^2+t+1) dt$ facendo la divisione ottieni che $t-t^2=-(t^2+t+1)+2t+1$. Per quanto riguarda il terzo certo che è una cosa lecita
"andar9896":
Per quanto riguarda il terzo certo che è una cosa lecita
Anche per questo in teoria dovrei aver risolto....lecitamente
Ottengo come risultato:
$1/2 (log|1-senx|+log|1+senx|)$....
Il risolutore online (O.I.C.) ottiene un risultato simile, ma con segni cambiati, penso sia lo stesso, ma non sono in grado di capirlo....essendoci di mezzo i logaritmi e peggio ancora i valori assoluti
Quindi per sicurezza mi potete confermare che
$ 1/2 (log|1-senx|+log|1+senx|) = (log|senx+1|-log|senx-1|)/2 $
Perchè se non sono la stessa cosa mi sono perso qualche segno
"andar9896":
Una volta qui $2 int (t-t^2)/(t^2+t+1) dt$ facendo la divisione ottieni che $t-t^2=-(t^2+t+1)+2t+1$.
Perfetto...anche il due è fatto.....
Sono sincero, senza questa ultima dritta
non sarei mai arrivato alla soluzione....per cui grazie Ora me ne mancano due/tre un pò impegnativi, ma ho bisogno di un attimo di pausa...dopodichè ci provo da solo, se non riesco chiedo l'aiuto del pubblico.....
Così se li porto a termine ho praticamente fatto tutti quelli che il professore ci ha messo a disposizione ... penso che di più non si possa proprio fare...onde impazzire
Anche perchè come detto ci sono quei maledetti argomenti (tipo raggio di convergenza, convergenza puntuale e uniforme, sviluppi di taylor/mclaurin) che devo rivedere, e che non mi entrano in testa neanche a pagarli oro
Per fortuna che almeno con le equazioni differenziali di primo ordine la cosa sembra abbastanza lineare...
L'integrale a me risulta così:
$1/2 int 1/(1+t) dt + 1/2 int 1/(1-t) dt = 1/2log(abs(1+t)) - 1/2 log(abs(1-t)) + c$.
Ovvero $1/2 log(abs(1+sinx)) - 1/2 log(abs(1-sinx)) + c$ a cui possiamo togliere i valori assoluti
$1/2 int 1/(1+t) dt + 1/2 int 1/(1-t) dt = 1/2log(abs(1+t)) - 1/2 log(abs(1-t)) + c$.
Ovvero $1/2 log(abs(1+sinx)) - 1/2 log(abs(1-sinx)) + c$ a cui possiamo togliere i valori assoluti
"andar9896":
L'integrale a me risulta così:
$1/2 int 1/(1+t) dt + 1/2 int 1/(1-t) dt = 1/2log(abs(1+t)) - 1/2 log(abs(1-t)) + c$.
Ovvero $1/2 log(abs(1+sinx)) - 1/2 log(abs(1-sinx)) + c$ a cui possiamo togliere i valori assoluti
Non mi torna solo perchè $1/2 int 1/(1-t) dt = - 1/2 log(abs(1-t)) + c$.
Non dovrebbe essere $ + 1/2 log(abs(1-t))$
Mh no. Se provi a derivare ti accorgi che la derivata di $1/2log(abs(1-t))$ è $-1/2*1/(1-t)$ !
D'altra parte basta vederla così:
$1/2 int 1/(1-t)dt = -1/2 int 1/(1-t) d(-t)$ a cui possiamo applicare la formula
D'altra parte basta vederla così:
$1/2 int 1/(1-t)dt = -1/2 int 1/(1-t) d(-t)$ a cui possiamo applicare la formula
"andar9896":
Mh no. Se provi a derivare ti accorgi che la derivata di $1/2log(abs(1-t))$ è $-1/2*1/(1-t)$ !
D'altra parte basta vederla così:
$1/2 int 1/(1-t)dt = -1/2 int 1/(1-t) d(-t)$ a cui possiamo applicare la formula
Hai ragione io ho applicato l'integrale immediato senza rendermi conto che al numeratore non avevo la derivata del denominatore.
Se avessi adottato questo passaggio sarebbe comunque considerato giusto? Perchè sono abituato a muovermi in questo modo...
$1/2 int 1/(1-t)dt = -1/2 int (-1)/(1-t) dt = -1/2 log|1-t|$
Perchè sono abituato a muovermi in questo modo...e quindi mi è più chiaro il discorso (sempre se è corretto però)
Certo che è corretto del resto $d(-t)$, quello che ho scritto io, è uguale a $-1dt$
del resto $d(-t)$, quello che ho scritto io, è uguale a $-1dt$
Ottimo...come avrai visto l'insicurezza regna sovrana. 
Nel frattempo ho provato a svolgere un altro degli integrali che mi ero lasciato per ultimo....tutto sommato pensavo peggio, ma ora non sono sicuro della correttezza del risultato che ho confrontato con il risolutore wolfram
$\int(x^2-1)arctg(3x) dx $
Mio risultato = $ (x^3/3-x)arctg(3x)-1/18x^2+14/81log(9x^2+1)+c$
Wolfram = $ 1/162(-9x^2+28 log(9x^2+1)+54(x^2-3)xarctg(3x) + c$
La parte $ (x^3/3-x) = 54/162 (x^2-3)x $ è quella che non capisco se sia equivalente o meno, il resto mi sembra di si
P.s. Inoltre qualcuno sa come uscire in maniera indolore da questa situazione?
$-int 1/(1-e^-x) dx $ (è la parte di uno svolgimento di un integrale da cui non riesco a sbloccarmi)
Nel frattempo ho provato a svolgere un altro degli integrali che mi ero lasciato per ultimo....tutto sommato pensavo peggio, ma ora non sono sicuro della correttezza del risultato che ho confrontato con il risolutore wolfram
$\int(x^2-1)arctg(3x) dx $
Mio risultato = $ (x^3/3-x)arctg(3x)-1/18x^2+14/81log(9x^2+1)+c$
Wolfram = $ 1/162(-9x^2+28 log(9x^2+1)+54(x^2-3)xarctg(3x) + c$
La parte $ (x^3/3-x) = 54/162 (x^2-3)x $ è quella che non capisco se sia equivalente o meno, il resto mi sembra di si
P.s. Inoltre qualcuno sa come uscire in maniera indolore da questa situazione?
$-int 1/(1-e^-x) dx $ (è la parte di uno svolgimento di un integrale da cui non riesco a sbloccarmi)
stavo aggiungendo una cosa e anziché modificare ho cancellato il messaggio.
Che campione ripropongo.
Che campione
ripropongo.
Nella risoluzione del tuo integrale invece ho riscontrato solo un errore. La costante di fronte $ln|1+9x^2|$ che hai messo tu è $14/81$ mentre invece è $5/27$ sono sicuro che ti manca un $+1$ a numeratore, perché $15/81=5/27$
Tolto questo, le due soluzioni sono equivalenti. Wolfram ti presenta la soluzione 'più compatta'
Tolto questo, le due soluzioni sono equivalenti. Wolfram ti presenta la soluzione 'più compatta'
"anto_zoolander":
Nella risoluzione del tuo integrale invece ho riscontrato solo un errore. La costante di fronte $ln|1+9x^2|$ che hai messo tu è $14/81$ mentre invece è $5/27$ sono sicuro che ti manca un $+1$ a numeratore, perché $15/81=5/27$'
Si avevo notato, che mancasse un $+1$ da qualche parte ma non ancora trovato dove
....forse l'unica è che posti l'inifita risoluzione completa, solo così posso trovare l'errore...(prima provo a trovarlo da solo senza disturbare se riesco) Nel frattempo ti ringrazio per lo sviluppo della precedente parte di integrale...con il tuo aiuto sono arrivfato alla conclusione corretta...(ho un piccolo dubbio al momento trascurabile relativo al come sia arrivato a numeratore e^x, immagino per inversione della frazione....ma per ora passiamo oltre)
Anche se poi altro integrale, stesso problema, mi ritrovo sempre nella medesima condizione in cui il risultato non coincide con quello di wolfram e quindi non riesco a capire se ho commesso un errore oppure no
$int\ cos^3 (x) / ( 1 + 2 sen (x)) dx $
Mia soluzione = $ 3/8 log |2 sen (x) + 1| - 1/4 sen^2 (x) + 1/4 sen (x) + c$
Soluzione OIC = $3/8 log (2sin(x)+1) - 1/16 (2 sin (x) + 1)^2 + 1/4 (2sen(x)+1) = 1/8 (3 log |2sin(x)+1| + cos(2x) + 2sen(x) + c $
Relativamente a questa comparazione non ho la più pallida idea delle coincidenza o meno delle soluzioni
E quando si va di fretta, perchè il tempo stringe, queste cose mi mandano in bestia
Questo è il mio svolgimento
ma trascurabile cosaaaa i dubbi vanno 'sdubbiati'.
per l'ultimo integrale la tua situazione è corretta.
ma trascurabile cosaaaa
i dubbi vanno 'sdubbiati'.per l'ultimo integrale la tua situazione è corretta.
RIporto come detto la risoluzione completa dell'integrale incriminato sopra
$\int (x^2-1) arctg (3x) dx $
Integro per parti:
$ f = arctg(3x) -> f' = 3 / (1 + 9x^2) $
$ g' = x^2-1 -> g = x^3/3 - x $
$\int (x^2-1) arctg (3x) dx = (x^3/3-x) arctg(3x) - int\ 3/(1+9x^2) (x^3/3 - x) dx $
Per semplicità non considero la prima parte che la segno come $ [...] $
$ = [...] - int\ (x^3)/(1+9x^2) - (3x)/(1+9x^2) dx $
$ = [...] - int\ (x^3)/(1+9x^2) + 1/6 int\ (18x)/(1+9x^2) dx $
Per il primo integrale faccio la divisione polinomiale ed ottengo che $ (x^3) / (9x^2+1) = 1/9 x - (1/9x)/(9x^2+1) $
$ = [..a..] - 1/9 int\ x dx + 1/162 int\ (162/9x)/(1+9x^2) dx + [..b..] $
$ [..b..] = 1/6 log |9x^2 + 1| $ (risoluzione del secondo integrale)
A questo punto quindi mi trovo con una sola parte da risolvere:
$ - 1/9 int\ x dx + 1/162 int\ (162/9x)/(1+9x^2) dx $
$ = -1/9 x^2/2 + 1/162 log | 9x^2+1| = -1/18 x^2 + 1/162 log | 9x^2+1| $
Mettendo insieme tutti i pezzi il risultato diviene quindi:
$ (x^3/3-x) arctg(3x) - 1/18 x^2 + 1/162 log | 9x^2+1| + 1/6 log |9x^2 + 1| $
Mettendo insieme i due logaritmi il risultato finale è quindi:
$ (x^3/3-x) arctg(3x) - 1/18 x^2 + 14/81 log | 9x^2+1| + c $
Il problema come detto è che non torna con quello di Wolfram (e neanche con quello di O.I.C)
Wolfram = $ 1/162(-9x^2+28 log(9x^2+1)+54(x^2-3)xarctg(3x) + c $
P.S. L'errore continuo a non trovarlo...ma ho appena visto la tua risoluzione....credo sia decisamente più bella.... quindi qualora non trovassi l'errore cancello tutto e mi riscrivo negli appunti la tua risoluzione....che è anche decisamente più corta
$\int (x^2-1) arctg (3x) dx $
Integro per parti:
$ f = arctg(3x) -> f' = 3 / (1 + 9x^2) $
$ g' = x^2-1 -> g = x^3/3 - x $
$\int (x^2-1) arctg (3x) dx = (x^3/3-x) arctg(3x) - int\ 3/(1+9x^2) (x^3/3 - x) dx $
Per semplicità non considero la prima parte che la segno come $ [...] $
$ = [...] - int\ (x^3)/(1+9x^2) - (3x)/(1+9x^2) dx $
$ = [...] - int\ (x^3)/(1+9x^2) + 1/6 int\ (18x)/(1+9x^2) dx $
Per il primo integrale faccio la divisione polinomiale ed ottengo che $ (x^3) / (9x^2+1) = 1/9 x - (1/9x)/(9x^2+1) $
$ = [..a..] - 1/9 int\ x dx + 1/162 int\ (162/9x)/(1+9x^2) dx + [..b..] $
$ [..b..] = 1/6 log |9x^2 + 1| $ (risoluzione del secondo integrale)
A questo punto quindi mi trovo con una sola parte da risolvere:
$ - 1/9 int\ x dx + 1/162 int\ (162/9x)/(1+9x^2) dx $
$ = -1/9 x^2/2 + 1/162 log | 9x^2+1| = -1/18 x^2 + 1/162 log | 9x^2+1| $
Mettendo insieme tutti i pezzi il risultato diviene quindi:
$ (x^3/3-x) arctg(3x) - 1/18 x^2 + 1/162 log | 9x^2+1| + 1/6 log |9x^2 + 1| $
Mettendo insieme i due logaritmi il risultato finale è quindi:
$ (x^3/3-x) arctg(3x) - 1/18 x^2 + 14/81 log | 9x^2+1| + c $
Il problema come detto è che non torna con quello di Wolfram (e neanche con quello di O.I.C)
Wolfram = $ 1/162(-9x^2+28 log(9x^2+1)+54(x^2-3)xarctg(3x) + c $
P.S. L'errore continuo a non trovarlo...ma ho appena visto la tua risoluzione....credo sia decisamente più bella.... quindi qualora non trovassi l'errore cancello tutto e mi riscrivo negli appunti la tua risoluzione....che è anche decisamente più corta
Alla fine ho cancellato tutto lo svolgimento e rifatto, ottenendo ovviamente il tuo stesso risultato
In pratica la differenza è qua
$ - int\ (x^3)/(1+9x^2) - (3x)/(1+9x^2) dx $
Io avevo diviso in due integrali quando invece si poteva procedere con la divisione polinomiale in un unico passaggio sotto un unico integrale cioè questo:
$ - int\ (x^3 - 3x) /(1+9x^2) dx $
La fretta, la stanchezza, a volte confondono ben bene le idee.
Ad ogni modo con questo, ho concluso quasi tutti gli integrali a mia disposizione, me ne manca solo uno ma non ho il coraggio di affrontarlo nonostante sia molto simile al precedente
Lo posto solo per i temerari, io sono davvero alla frutta
$\int x^3 (arctg x)^2 dx = ?????? $
Poi quel quadrato dell'arcotangente proprio scombina tutti i miei piani
In pratica la differenza è qua
$ - int\ (x^3)/(1+9x^2) - (3x)/(1+9x^2) dx $
Io avevo diviso in due integrali quando invece si poteva procedere con la divisione polinomiale in un unico passaggio sotto un unico integrale cioè questo:
$ - int\ (x^3 - 3x) /(1+9x^2) dx $
La fretta, la stanchezza, a volte confondono ben bene le idee.
Ad ogni modo con questo, ho concluso quasi tutti gli integrali a mia disposizione, me ne manca solo uno ma non ho il coraggio di affrontarlo nonostante sia molto simile al precedente
Lo posto solo per i temerari, io sono davvero alla frutta
$\int x^3 (arctg x)^2 dx = ?????? $
Poi quel quadrato dell'arcotangente proprio scombina tutti i miei piani
Non l'ho risolto ma hai gia provato per parti?
L'ho calcolato, dovrebbe venire:
[size=85]$x^4/4arctan^2x-arctanx/2[x^3/3-x+arctanx]-1/3ln|1+x^2|+arctan^2x/4+x^2/12+c$[/size]
Scrivere tutto il procedimento è da pazzoidi, più che altro perché sono dal cellulare
si fa tutto per parti e scomposizione di polinomi. ma ci si confonde facilmente
[size=85]$x^4/4arctan^2x-arctanx/2[x^3/3-x+arctanx]-1/3ln|1+x^2|+arctan^2x/4+x^2/12+c$[/size]
Scrivere tutto il procedimento è da pazzoidi, più che altro perché sono dal cellulare
si fa tutto per parti e scomposizione di polinomi. ma ci si confonde facilmente
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