Valutazione convergenza di un integrale?
Buonasera a tutti voi.
Mi trovo davanti a questo problema. Sto risolvendo una ODE a variabili separabili, della quale devo tracciare il grafico qualitativo. Mi sto chiedendo quali siano gli asintoti (se esistono) della soluzione.
Mi trovo quindi davanti a questo specifico integrale:
$int_(y_0)^(y) e^(-t)(t-2) dt$
Ora, potrei risolverlo per trovare la primitiva e studiarne la convergenza al variare di $y_0$ ed $y$ entrambi $\in \R$.
Visto che comunque non mi è richiesto esplicitare la soluzione, ma solamente disegnare un grafico qualitativo mi chiedevo se sia possibile studiare la convergenza di questo oggetto senza risolverlo e,se è possibile, avere qualche indizio su come poter impostare lo studio per non fare errori gravi di logica.
Vi faccio un esempio: nella soluzione (che ho purtroppo guardato....) si fa questo riferimento:
Per $y>2$ e $y_0\rightarrow \infty$, l'integrale $\rightarrow \infty$ (diverge).
Il tutto, secondo chi ha scritto la soluzione, sfruttando le proprietà base (?) degli integrali.
Vi ringrazio molto in anticipo, spero di essere riuscito a spiegarmi in termini corretti.
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Mi trovo davanti a questo problema. Sto risolvendo una ODE a variabili separabili, della quale devo tracciare il grafico qualitativo. Mi sto chiedendo quali siano gli asintoti (se esistono) della soluzione.
Mi trovo quindi davanti a questo specifico integrale:
$int_(y_0)^(y) e^(-t)(t-2) dt$
Ora, potrei risolverlo per trovare la primitiva e studiarne la convergenza al variare di $y_0$ ed $y$ entrambi $\in \R$.
Visto che comunque non mi è richiesto esplicitare la soluzione, ma solamente disegnare un grafico qualitativo mi chiedevo se sia possibile studiare la convergenza di questo oggetto senza risolverlo e,se è possibile, avere qualche indizio su come poter impostare lo studio per non fare errori gravi di logica.
Vi faccio un esempio: nella soluzione (che ho purtroppo guardato....) si fa questo riferimento:
Per $y>2$ e $y_0\rightarrow \infty$, l'integrale $\rightarrow \infty$ (diverge).
Il tutto, secondo chi ha scritto la soluzione, sfruttando le proprietà base (?) degli integrali.
Vi ringrazio molto in anticipo, spero di essere riuscito a spiegarmi in termini corretti.
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Risposte
Puoi considerare $F(x)=int_(x_0)^(x)g(t)dt$
Poiché $g$ è una funzione continua allora $F’(x)=g(x),forallx inA$
Così ne studi la monotonia e facendo le dovute considerazioni si scopre che $g(x)$ è crescente per $x>2$ e decrescente per $x<2$. Puoi studiare $g’(x)$ per trarne la concavità.
Se poni $x_0=2$ sai bene anche che l’integrale è sempre positivo, che diverge a $-infty$. L’unica cosa che mancherebbe sarebbe proprio studiare la convergenza a $+infty$
Poiché $g$ è una funzione continua allora $F’(x)=g(x),forallx inA$
Così ne studi la monotonia e facendo le dovute considerazioni si scopre che $g(x)$ è crescente per $x>2$ e decrescente per $x<2$. Puoi studiare $g’(x)$ per trarne la concavità.
Se poni $x_0=2$ sai bene anche che l’integrale è sempre positivo, che diverge a $-infty$. L’unica cosa che mancherebbe sarebbe proprio studiare la convergenza a $+infty$
"anto_zoolander":
Puoi considerare $F(x)=int_(x_0)^(x)g(t)dt$
Poiché $g$ è una funzione continua allora $F’(x)=g(x),forallx inA$
Così ne studi la monotonia e facendo le dovute considerazioni si scopre che $g(x)$ è crescente per $x>2$ e decrescente per $x<2$. Puoi studiare $g’(x)$ per trarne la concavità.
Se poni $x_0=2$ sai bene anche che l’integrale è sempre positivo, che diverge a $-infty$. L’unica cosa che mancherebbe sarebbe proprio studiare la convergenza a $+infty$
Buonasera, e innanzitutto grazie per la risposta
.Deduco che la monotonia si studi per $g(x)=e^{-x}(x-2)$ che risulta appunto conforme a quanto scritto da te.
Vorrei essere più sicuro sulla seconda parte, quando poni $x_0=2$ e dici che l'integrale diverge a $-\infty$.
Io avrei $int_(2)^(x) e^{-x}(x-2) dx $
Intuitivamente, direi che la $g(x)$, ovvero la funzione integranda, effettivamente tenda a $\-infty$ al crescere di $x$.
Credo di fare confusione in questo punto: io sto valutando la funzione integranda, la quale effettivamente ha questo comportamento. Io avrei bisogno di queste valutazioni sulla primitiva di $g(x)$. Mi basta la valutazione su $g(x)$ per avere le informazioni che mi servono (comportamento asintotico della soluzione in questo specifico caso).
Grazie mille.
.
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