Valori di f(x) per x complicato
Salve, volevo chiedere se qualcuno può suggerirmi un metodo per conoscere in modo veloce ed approssimativo il volore di f(x) quando la x è una frazione con radice.
Ho questa funzione:
$ f(x):= (e^{-|x|} root(3)(x^(2) ) )/ (|1-x|) $
La derivata per x<0 si annulla nel punto $ x:= (2- sqrt(10))/3 $
Ho quindi bisogno di conoscere, anche in modo approssimativo i volori di f(x) in quei punti per determinare se si tratta di minino o massimo e per collocarli in modo giusto nel grafico.
Come posso procedere?
Grazie
Ho questa funzione:
$ f(x):= (e^{-|x|} root(3)(x^(2) ) )/ (|1-x|) $
La derivata per x<0 si annulla nel punto $ x:= (2- sqrt(10))/3 $
Ho quindi bisogno di conoscere, anche in modo approssimativo i volori di f(x) in quei punti per determinare se si tratta di minino o massimo e per collocarli in modo giusto nel grafico.
Come posso procedere?
Grazie
Risposte
temo ci siano un po' di errori
- 1. la derivata non si annulla mai
2. \(\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{7}}3>1\)[/list:u:2o5ug377]
comunque, se vuoi approssimare bene c'è uno strumento gratuito online, http://www.wolframalpha.com
"albertobosia":
temo ci siano un po' di errori
1. la derivata non si annulla mai
2. \(\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{7}}3>1\)[/list:u:3drqpia1]
comunque, se vuoi approssimare bene c'è uno strumento gratuito online, http://www.wolframalpha.com
Si, ho fatto un errore.
La funzione è $ (e^{-|x|} root(3)(x^2))/(|1-x|) $
per x >0 non si annulla mai.
Comunque, nel caso abbia bisogno di trovare il valore di f(x) per x come sopra, come si può procedere?
Conosco il sito che mi hai suggerito ma la richiesta è finalizzata ad un prossimo esame durante il quale, naturalmente, non avrò a disposizione calcolatori.
Fai approssimazioni "a occhio", se non hai la calcolatrice.
Ad esempio, \(10 \approx 9\), quindi \(\sqrt{10}\approx 3\); dato che la funzione radice non cresce troppo velocemente, possiamo assumere "a occhio" \(\sqrt{10}=3.2\).
A questo punto \(x=\frac{2-\sqrt{10}}{3} = \frac{-1.2}{3} =-0.4\).
Evidentemente "a occhio" \(|1-x|=1.4\).
Poi \(x^2 = \frac{14-4\sqrt{10}}{9} = \frac{14-12.8}{9} = \frac{1.2}{9} = \frac{12}{10}\ \frac{1}{9} = \frac{2}{15}\); ma "a occhio" abbiamo \(\frac{2}{15}\approx \frac{2}{16} =\frac{1}{8}\), quindi assumiamo "a occhio" \(x^2=\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}\). Quindi \(\sqrt[3]{x^2}= \frac{1}{2}\).
Rimane da calcolare "a occhio" \(e^{-|x|}\); ma \(x=-0.4\), quindi \(e^{-|x|}=e^{-0.4}\) e visto che \(0.4\approx 0.5\), possiamo assumere "a occhio" \(e^{-|x|} =e^{-1/2}=\sqrt{\frac{1}{e}}\); dato che \(e\approx 3\) e che \(\sqrt{3}\approx 1.71\) (questa è nota anche alle pietre), troviamo \(e^{-|x|}\approx \frac{1}{1.71} \approx \frac{10}{17}\). Quindi "a occhio" \(e^{-|x|}=10/17\).
Mettendo insieme:
\[
f\left( \frac{2-\sqrt{10}}{3}\right) = \frac{10}{17}\ \frac{1}{2}\ \frac{10}{14} = \frac{25}{17\cdot 7} = \frac{25}{119}\; ;
\]
dato che \(4\cdot 25= 100\) e \(5\cdot 25 =125\) il numero trovato con le approssimazioni "a occhio" sta tra \(1/4=0.25\) ed \(1/5=0.2\), ma più vicino ad \(1/5\); quindi diciamo che "a occhio":
\[
f\left( \frac{2-\sqrt{10}}{3}\right) =0.21
\]
Con Mathematica trovo:
\[
f\left( \frac{2-\sqrt{10}}{3}\right) =0.260011
\]
quindi non sono arrivato troppo lontano.
Ad esempio, \(10 \approx 9\), quindi \(\sqrt{10}\approx 3\); dato che la funzione radice non cresce troppo velocemente, possiamo assumere "a occhio" \(\sqrt{10}=3.2\).
A questo punto \(x=\frac{2-\sqrt{10}}{3} = \frac{-1.2}{3} =-0.4\).
Evidentemente "a occhio" \(|1-x|=1.4\).
Poi \(x^2 = \frac{14-4\sqrt{10}}{9} = \frac{14-12.8}{9} = \frac{1.2}{9} = \frac{12}{10}\ \frac{1}{9} = \frac{2}{15}\); ma "a occhio" abbiamo \(\frac{2}{15}\approx \frac{2}{16} =\frac{1}{8}\), quindi assumiamo "a occhio" \(x^2=\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}\). Quindi \(\sqrt[3]{x^2}= \frac{1}{2}\).
Rimane da calcolare "a occhio" \(e^{-|x|}\); ma \(x=-0.4\), quindi \(e^{-|x|}=e^{-0.4}\) e visto che \(0.4\approx 0.5\), possiamo assumere "a occhio" \(e^{-|x|} =e^{-1/2}=\sqrt{\frac{1}{e}}\); dato che \(e\approx 3\) e che \(\sqrt{3}\approx 1.71\) (questa è nota anche alle pietre), troviamo \(e^{-|x|}\approx \frac{1}{1.71} \approx \frac{10}{17}\). Quindi "a occhio" \(e^{-|x|}=10/17\).
Mettendo insieme:
\[
f\left( \frac{2-\sqrt{10}}{3}\right) = \frac{10}{17}\ \frac{1}{2}\ \frac{10}{14} = \frac{25}{17\cdot 7} = \frac{25}{119}\; ;
\]
dato che \(4\cdot 25= 100\) e \(5\cdot 25 =125\) il numero trovato con le approssimazioni "a occhio" sta tra \(1/4=0.25\) ed \(1/5=0.2\), ma più vicino ad \(1/5\); quindi diciamo che "a occhio":
\[
f\left( \frac{2-\sqrt{10}}{3}\right) =0.21
\]
Con Mathematica trovo:
\[
f\left( \frac{2-\sqrt{10}}{3}\right) =0.260011
\]
quindi non sono arrivato troppo lontano.
"gugo82":
Fai approssimazioni "a occhio", se non hai la calcolatrice.
Ad esempio, \(10 \approx 9\), quindi \(\sqrt{10}\approx 3\); dato che la funzione radice non cresce troppo velocemente, possiamo assumere "a occhio" \(\sqrt{10}=3.2\).
A questo punto \(x=\frac{2-\sqrt{10}}{3} = \frac{-1.2}{3} =-0.4\).
Evidentemente "a occhio" \(|1-x|=1.4\).
Poi \(x^2 = \frac{14-4\sqrt{10}}{9} = \frac{14-12.8}{9} = \frac{1.2}{9} = \frac{12}{10}\ \frac{1}{9} = \frac{2}{15}\); ma "a occhio" abbiamo \(\frac{2}{15}\approx \frac{2}{16} =\frac{1}{8}\), quindi assumiamo "a occhio" \(x^2=\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}\). Quindi \(\sqrt[3]{x^2}= \frac{1}{2}\).
Rimane da calcolare "a occhio" \(e^{-|x|}\); ma \(x=-0.4\), quindi \(e^{-|x|}=e^{-0.4}\) e visto che \(0.4\approx 0.5\), possiamo assumere "a occhio" \(e^{-|x|} =e^{-1/2}=\sqrt{\frac{1}{e}}\); dato che \(e\approx 3\) e che \(\sqrt{3}\approx 1.71\) (questa è nota anche alle pietre), troviamo \(e^{-|x|}\approx \frac{1}{1.71} \approx \frac{10}{17}\). Quindi "a occhio" \(e^{-|x|}=10/17\).
Mettendo insieme:
\[
f\left( \frac{2-\sqrt{10}}{3}\right) = \frac{10}{17}\ \frac{1}{2}\ \frac{10}{14} = \frac{25}{17\cdot 7} = \frac{25}{119}\; ;
\]
dato che \(4\cdot 25= 100\) e \(5\cdot 25 =125\) il numero trovato con le approssimazioni "a occhio" sta tra \(1/4=0.25\) ed \(1/5=0.2\), ma più vicino ad \(1/5\); quindi diciamo che "a occhio":
\[
f\left( \frac{2-\sqrt{10}}{3}\right) =0.21
\]
Con Mathematica trovo:
\[
f\left( \frac{2-\sqrt{10}}{3}\right) =0.260011
\]
quindi non sono arrivato troppo lontano.
Ti ringrazio.
Speravo in qualche motodo più semplice (tipo bisezione) ma effettivamente credo il tuo sia sia l'unico percorribile.
Purtroppo mi capita spesso di andare in confusione seguendo la strada da te suggerita.
Vedrò di migliorare.
Comunque bravo|
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