Valori della derivata
Data la funzione :
$y= (e^x) / (x^2 - 4)$
Il libro chiede :
1)DETERMINARE PER QUALI VALORI DI X LA FUNZIONE HA LA SUA DERIVATA PRIMA.
2)MOTIVARE IL PERCHE'
Io ho pensato:
1) calcolo la derivata prima (cioè scrivo solo l'equazione) che sarebbe :$y'=(e^x(x^2-4)-(e^x2x))/(x^2-4)^2$
Poi pero' mi blocco.
Dovrei mettere al posto di x i valori (-2,+2) per i quali la funzione non è definita?
Chiedo aiuto grazie
$y= (e^x) / (x^2 - 4)$
Il libro chiede :
1)DETERMINARE PER QUALI VALORI DI X LA FUNZIONE HA LA SUA DERIVATA PRIMA.
2)MOTIVARE IL PERCHE'
Io ho pensato:
1) calcolo la derivata prima (cioè scrivo solo l'equazione) che sarebbe :$y'=(e^x(x^2-4)-(e^x2x))/(x^2-4)^2$
Poi pero' mi blocco.
Dovrei mettere al posto di x i valori (-2,+2) per i quali la funzione non è definita?
Chiedo aiuto grazie
Risposte
La matematica e' "bella" ma ha il piccolo difetto (a volte) di rendere oscure e difficili anche delle cose ovvie.
E' ovvio che la derivata non esiste ne' in x= +2 ne' in x = -2.
Per cui e' ovvio anche il contrario che HA derivata in tutti i punti tranne quelli citati prima.
Se volessimo essere rigorosi (credo che sia corretto cosi' la scrittura).
[tex]x \in A :\:(A \in \mathbb{R} \setminus \ \{-2,+2\})[/tex]
E' ovvio che la derivata non esiste ne' in x= +2 ne' in x = -2.
Per cui e' ovvio anche il contrario che HA derivata in tutti i punti tranne quelli citati prima.
Se volessimo essere rigorosi (credo che sia corretto cosi' la scrittura).
[tex]x \in A :\:(A \in \mathbb{R} \setminus \ \{-2,+2\})[/tex]
Mah, non me ne volere, Quinzio, ma io ci andrei cauto con le ovvietà, specie se uno è alle prime armi con l'Analisi (sia chiaro che non voglio offendere nessuno, fausto_1).
Sì, d'accordo, qui tutto fila liscio perchè la funzione è continua in ogni punto del dominio. Quindi è continua e derivabile (=ha la sua derivata prima) in ogni punto $x_0 in RR$ con $x_0 != pm 2$. fausto_1 ti è chiaro il perchè di questo?
Mi permetto di osservare che non è affatto scontato (nè tantomeno ovvio) che una funzione sia derivabile in ogni punto in cui è definita (voglio dire: non basta trovare il dominio e dire: be', la derivata esiste dovunque la $f$ è definita). Spero sia chiaro quanto intendo.
Non capisco la scrittura, forse c'è qualche simbolo errato?
"Quinzio":
E' ovvio che la derivata non esiste ne' in x= +2 ne' in x = -2.
Per cui e' ovvio anche il contrario che HA derivata in tutti i punti tranne quelli citati prima.
Sì, d'accordo, qui tutto fila liscio perchè la funzione è continua in ogni punto del dominio. Quindi è continua e derivabile (=ha la sua derivata prima) in ogni punto $x_0 in RR$ con $x_0 != pm 2$. fausto_1 ti è chiaro il perchè di questo?
Mi permetto di osservare che non è affatto scontato (nè tantomeno ovvio) che una funzione sia derivabile in ogni punto in cui è definita (voglio dire: non basta trovare il dominio e dire: be', la derivata esiste dovunque la $f$ è definita). Spero sia chiaro quanto intendo.
"Quinzio":
Se volessimo essere rigorosi (credo che sia corretto cosi' la scrittura).
[tex]x \in A :\:(A \in \mathbb{R} \setminus \ \{-2,+2\})[/tex]
Non capisco la scrittura, forse c'è qualche simbolo errato?
Probabile.
Grazie per le risposte.
Paolo 90, non mi offendo se mi dici che sono alle prime armi con analisi....è vero.
Ho grosse lacune, ma vorrei "sbatterci il muso" per capire..
Allora è chiaro che per la funzione data : $y= (e^x) / (x^2 - 4)$ il dominio è costituito
da tutti gli x appartenenti ad $RR$ tranne -2 e +2.
Quindi in quei punti la derivata NON esiste.
E' corretto fin qui????
Ma la domanda a me non è chiara.
"1)DETERMINARE PER QUALI VALORI DI X LA FUNZIONE HA LA derivata PRIMA."
Io risponderei cosi:
E' possibile calcolare la derivata prima in tutti i punti del dominio tranne per x=-2 e x=+2 dove
la funzione NON è definita .
Per cortesia correggetemi se dico castronate.
Vi ringrazio molto e scusate se per voi sono cose banalissime
Paolo 90, non mi offendo se mi dici che sono alle prime armi con analisi....è vero.
Ho grosse lacune, ma vorrei "sbatterci il muso" per capire..
Allora è chiaro che per la funzione data : $y= (e^x) / (x^2 - 4)$ il dominio è costituito
da tutti gli x appartenenti ad $RR$ tranne -2 e +2.
Quindi in quei punti la derivata NON esiste.
E' corretto fin qui????
Ma la domanda a me non è chiara.
"1)DETERMINARE PER QUALI VALORI DI X LA FUNZIONE HA LA derivata PRIMA."
Io risponderei cosi:
E' possibile calcolare la derivata prima in tutti i punti del dominio tranne per x=-2 e x=+2 dove
la funzione NON è definita .
Per cortesia correggetemi se dico castronate.
Vi ringrazio molto e scusate se per voi sono cose banalissime
"fausto_1":
Grazie per le risposte.
Paolo 90, non mi offendo se mi dici che sono alle prime armi con analisi....è vero.
Guarda, ci siamo passati tutti; è normale magari all'inizio rimanere un po' disorientati, ma ti assicuro che se ti impegni a fondo allora diventa tutto molto più bello e comprensibile.
In ogni caso, il mio intervento voleva farti riflettere su questo. Tu dici:
"fausto_1":
Allora è chiaro che per la funzione data : $y= (e^x) / (x^2 - 4)$ il dominio è costituito
da tutti gli x appartenenti ad $RR$ tranne -2 e +2.
Quindi in quei punti la derivata NON esiste.
E' corretto fin qui?
Certamente. La funzione non è definita in quei punti, quindi non ha nemmeno senso chiedersi quanto vale la derivata. Punto.
Il problema è questo. Non basta trovare il dominio della funzione e dire: bon, la funzione ha derivata prima in tutti i punti del dominio. Capisci?
Ci sono alcune funzioni che - pur essendo definite in un punto - ivi non ammettono derivata prima. L'esempio classico è questo: il modulo, $y=|x|$. La funzione, apparentemente, è "innocua": immagino tu sappia che il suo dominio è $RR$.
Quindi a uno verrebbe da dire (stando a quanto fatto nel precedente post): è definita dovunque quindi "ha la derivata prima" (=è derivabile) dovunque.
E invece no. Sei capace di dirmi dove ci sono problemi di derivabilità?
Sicuramente vi sono problemi di deribabilità nei punti -2 e +2, ma non è la risposta giusta al quesito da te posto, suppongo
"fausto_1":
Sicuramente vi sono problemi di deribabilità nei punti -2 e +2, ma non è la risposta giusta al quesito da te posto, suppongo
No, scusa, si vede che sono stato poco chiaro io. L'esercizio da te proposto è esaurito, chiuso, la risposta data è corretta.
La mia domanda (che ti è utile comunque per comprendere bene questi argomenti) è questa: considera la funzione $f: RR to RR$ definita da $f(x)=|x|$ (il solito modulo o valore assoluto). Determinare il dominio di $f$ e dire dove $f$ è derivabile (=ha derivata prima).
P.S. Ho letto la mail, ti ringrazio: ti invito però a postare i tuoi dubbi qui nella sezione di analisi, avranno sicuramente maggiore visibilità e molti ti potranno aiutare. In bocca al lupo
Grazie per la risposta.
Allora se ho ben capito, mi chiedi se la funzione $f(x)=|x|$ presenta dei punti di scontinuità?
Da ignorante ti dico:
1) la funzione è definita su tutto l'asse reale (il modulo di un reale è il numero privo di segno)
2) la funzione non mi sembra presenti problemi di derivabilità
Forse un argomento attinente è il seguente:
un punto che appartiene al dominio di una funzione paradossalmente puo' essere un punto di NON
derivabilità .
Esempio: punto angoloso,cuspide,flesso a tangente verticale.
E' corretto? E' a cio che ti riferivi quando sottolineavi che:
>>Ci sono alcune funzioni che - pur essendo definite in un punto - ivi non ammettono derivata prima.<<
Grazie
Allora se ho ben capito, mi chiedi se la funzione $f(x)=|x|$ presenta dei punti di scontinuità?
Da ignorante ti dico:
1) la funzione è definita su tutto l'asse reale (il modulo di un reale è il numero privo di segno)
2) la funzione non mi sembra presenti problemi di derivabilità
Forse un argomento attinente è il seguente:
un punto che appartiene al dominio di una funzione paradossalmente puo' essere un punto di NON
derivabilità .
Esempio: punto angoloso,cuspide,flesso a tangente verticale.
E' corretto? E' a cio che ti riferivi quando sottolineavi che:
>>Ci sono alcune funzioni che - pur essendo definite in un punto - ivi non ammettono derivata prima.<<
Grazie
Ciao.
No, ti sto chiedendo dove la funzione $f(x)=|x|$ ha derivata prima (è derivabile).
Perfetto, è definita (e continua) su tutto $RR$, bene.
Mmmmm.... Sicuro? Che mi dici in $x_0=0$?
Non è un argomento attinente, è esattamente quello che ti sto dicendo
"fausto_1":
Grazie per la risposta.
Allora se ho ben capito, mi chiedi se la funzione $f(x)=|x|$ presenta dei punti di discontinuità?
No, ti sto chiedendo dove la funzione $f(x)=|x|$ ha derivata prima (è derivabile).
"fausto_1":
Da ignorante ti dico:
1) la funzione è definita su tutto l'asse reale (il modulo di un reale è il numero privo di segno)
Perfetto, è definita (e continua) su tutto $RR$, bene.
"fausto_1":
2) la funzione non mi sembra presenti problemi di derivabilità
Mmmmm.... Sicuro? Che mi dici in $x_0=0$?
"fausto_1":
Forse un argomento attinente è il seguente:
un punto che appartiene al dominio di una funzione paradossalmente puo' essere un punto di NON
derivabilità .
Esempio: punto angoloso,cuspide,flesso a tangente verticale.
E' corretto? E' a cio che ti riferivi quando sottolineavi che:
>>Ci sono alcune funzioni che - pur essendo definite in un punto - ivi non ammettono derivata prima.<<
Grazie
Non è un argomento attinente, è esattamente quello che ti sto dicendo
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