Valori del parametro $ \alpha $ per cui $ {f_{n,\alpha}} \in L^1 $

[giulio912]

ciao a tutti!

sto affrontando il programma di teoria della misura e sono in difficoltà sugli esercizi del tipo:

sia $ D sub RR^n $ e $ f_n : D -> RR$ una successione dipendente dal parametro $ \alpha $. stabilire per quali valori di $ \alpha $ si ha $ {f_n} \in L^1(D) $

nel caso in cui $ f_n $ non abbia vincoli parametrici posso sfruttare - ricorrendone le condizioni - il teorema di convergenza monotona e passare il limite sotto il segno d'intregrale, oppure cercare di risolvere l'integrale e poi calcolare il limite oppure ancora sfruttare maggiorazioni e il teorema di convergenza dominata.

ma quando ho un parametro come mi devo comportare? se l'integrale non ha primitiva (nei miei esercizi è sempre così ) come posso trovare valori puntuali per il parametro utilizzando solo maggiorazioni?

vi posto un esempio che ho: $ D = {(x,y,z,) \in RR^3 : x>0, y>0, z>0} f_n=(-)^n/(x^{6\alpha}+2y^{6\alpha}+3z^{6\alpha}+n) $.

ho provato a passare in coordinate sferiche ma mi incasino soltanto...

GRAZIE CHI MI VORRA' AIUTARE.

[dissonance]

La tua domanda non è molto chiara (sospetto tu faccia confusione con i parametri $n$ e $\alpha$, oppure dimentichi di specificare che devi passare al limite rispetto a qualche parametro). In ogni caso, questo ti può essere utile.

[giulio912]

ciao e grazie per la risposta. mi scuso di non essere stato chiaro: $ f_n $ è una successione di funzioni dipendenti dal parametro $ \alpha $. devo dire per quali valori di $ \alpha $ ho che $f_n \in L^1 $. probabilmente non ci sono metodi standard di approccio e mi sono sbagliato. forse devo semplicemente fissare $\alpha$ "a naso" e vedere se $f_n$ ha integrale limitato. forse ...