Valore massimo della soluzione per equazione differenziale

[Gianni881]

Salve a tutti,
Ho pensato a lungo su come risolvere questo esercizio e credo che non sia neanche così difficile ma non so come iniziare e sopratutto che strada intraprendere

il problema è il seguente:

dato il sistema di equazioni differenziali

$dot x(t)=y(t)x(t)$
$dot y(t)=(1-x(t))y(t)$
$x(0)=1/2$
$y(0)=1$

trovare il valore massimo di y(t) per la soluzione dell'equazione differenziale.

Spero di essere stato abbastanza chiaro
grazie a tutti coloro che risponderanno

[ciampax]

Visto che le due funzioni dipendono da $t$, puoi pensare di calcolare la derivata seguente

$\frac{dy}{dx}={dy}/{dt}\cdot{dt}/{dx}=\frac{\dot{y}}{\dot{x}}$

e vedere cosa viene fuori.

P.S.: per scrivere bene le formule, basta solo il simbolo di dollaro, senza gli slash.

[Gianni881]

garzie del bel suggerimento

Non capisco però il ragionamento, perchè calcolare tale derivata?

[ciampax]

Come calcoli il massimo di una funzione $y=f(x)$?

[Gianni881]

ma certo che stupido!
Ho una tale confusione in testa ... provo a seguire il tuo suggerimento

[Gianni881]

allora calcolando
$dot y/dot x = dot y(x)=x/(1-x)$
integrando $x/(1-x)$
ottengo
$y(x)=-x-log(1-x)+C$ (1)
Per trovare la costante C pensavo di usare le condizioni iniziali nel seguente modo:
$1=-1/2-log(1/2)+C$
e trovo $C=3/2 - log(2)$
sostituendo in (1):
$y(x)=-x-log(1-x)+3/2 - log(2)$
adesso calcolo il massimo di questa funzione e dovrebbe essere risolto il problema, potrebbe essere giusta la mia idea? passaggi precedenti?

[ciampax]

Hai sbagliato la derivata, quella giusta è questa $y'(x)={1-x}/x=1/x-1$.