Valore di somme parziali di serie armoniche
Salve a tutti.
Innanzitutto mi scuso se il titolo del topic non è corretto, ma non sapevo come esprimere il concetto!
Ho iniziato da poco il corso di analisi 1 e il professore ci ha assegnato i seguenti esercizi.
Verificare che per \( n \in \mathbb{N} \) :
1) $ 1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)>2/3 $
2) $ 1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(3n+1)>1 $
3) $ 1/2<1/(3n+1)+1/(3n+2)+...+1/(5n)+1/(5n+1)<2/3 $
4) \( n \cdot(\sqrt[5]{n+1}-1)<1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}1 $
Gli unici suggerimenti forniti sono stati quelli di calcolare, per i primi tre quesiti, le somme dei denominatori (es. $ n+(n+1)+(n+2)+...+2n $ ) e sfruttarle per applicare opportunamente le proprietà di media aritmetica/armonica $ A_n>=H_n $; per il quarto quesito, invece, basarsi sulla proprietà di media aritmetica/geometrica $ A_n>=G_n $.
Peraltro, non avendo ancora trattato formalmente le serie, è da escludere l'utilizzo di criteri di convergenza o proprietà particolari delle serie/successioni.
Sono riuscito ad esplicitare la somma dei denominatori sfruttando la formula di Gauss, ma ora non so dove e come usarla per giungere al risultato voluto.
Ovviamente non chiedo le soluzioni (ci mancherebbe!), ma qualcuno ha qualche suggerimento/spunto per svolgere gli esercizi?
Grazie in anticipo!
Innanzitutto mi scuso se il titolo del topic non è corretto, ma non sapevo come esprimere il concetto!
Ho iniziato da poco il corso di analisi 1 e il professore ci ha assegnato i seguenti esercizi.
Verificare che per \( n \in \mathbb{N} \) :
1) $ 1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)>2/3 $
2) $ 1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(3n+1)>1 $
3) $ 1/2<1/(3n+1)+1/(3n+2)+...+1/(5n)+1/(5n+1)<2/3 $
4) \( n \cdot(\sqrt[5]{n+1}-1)<1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}
Gli unici suggerimenti forniti sono stati quelli di calcolare, per i primi tre quesiti, le somme dei denominatori (es. $ n+(n+1)+(n+2)+...+2n $ ) e sfruttarle per applicare opportunamente le proprietà di media aritmetica/armonica $ A_n>=H_n $; per il quarto quesito, invece, basarsi sulla proprietà di media aritmetica/geometrica $ A_n>=G_n $.
Peraltro, non avendo ancora trattato formalmente le serie, è da escludere l'utilizzo di criteri di convergenza o proprietà particolari delle serie/successioni.
Sono riuscito ad esplicitare la somma dei denominatori sfruttando la formula di Gauss, ma ora non so dove e come usarla per giungere al risultato voluto.
Ovviamente non chiedo le soluzioni (ci mancherebbe!), ma qualcuno ha qualche suggerimento/spunto per svolgere gli esercizi?
Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao ale311,
Benvenuto sul forum!
La 1) mi sembra semplice, perché naturalmente si può riscrivere nella forma più compatta seguente:
$\sum_{k = 0}^n 1/(n + k) > 2/3 $
Ricordando che $HM <= AM $, si ha:
$n/(\sum_{k = 0}^n 1/(n + k)) < (\sum_{k = 0}^n(n + k))/(n + 1) = (3/2 n(n + 1))/(n + 1) = 3/2 n \implies 2/3 < \sum_{k = 0}^n 1/(n + k) $
Dello stesso tenore anche la 2), che si può scrivere nella forma più compatta seguente:
$\sum_{k = 0}^{2n} 1/(n + k + 1) > 1 $
Sempre ricordando che $HM <= AM $, si ha:
$(2n + 1)/(\sum_{k = 0}^{2n} 1/(n + k + 1)) < (\sum_{k = 0}^{2n}(n + k + 1))/(2n + 1) = (2n + 1)^2/(2n + 1) = 2n + 1 \implies 1 < \sum_{k = 0}^{2n} 1/(n + k + 1) $
Benvenuto sul forum!
La 1) mi sembra semplice, perché naturalmente si può riscrivere nella forma più compatta seguente:
$\sum_{k = 0}^n 1/(n + k) > 2/3 $
Ricordando che $HM <= AM $, si ha:
$n/(\sum_{k = 0}^n 1/(n + k)) < (\sum_{k = 0}^n(n + k))/(n + 1) = (3/2 n(n + 1))/(n + 1) = 3/2 n \implies 2/3 < \sum_{k = 0}^n 1/(n + k) $
Dello stesso tenore anche la 2), che si può scrivere nella forma più compatta seguente:
$\sum_{k = 0}^{2n} 1/(n + k + 1) > 1 $
Sempre ricordando che $HM <= AM $, si ha:
$(2n + 1)/(\sum_{k = 0}^{2n} 1/(n + k + 1)) < (\sum_{k = 0}^{2n}(n + k + 1))/(2n + 1) = (2n + 1)^2/(2n + 1) = 2n + 1 \implies 1 < \sum_{k = 0}^{2n} 1/(n + k + 1) $
Ah, ok! Capito!
Avevo fatto giusto il passaggio sul calcolo della somma, ma non riuscivo a capire come combinare il tutto sfruttando le due medie.
Ti ringrazio molto!
Avevo fatto giusto il passaggio sul calcolo della somma, ma non riuscivo a capire come combinare il tutto sfruttando le due medie.
Ti ringrazio molto!
Buongiorno.
Sono riuscito a svolgere tutti gli esercizi, anche grazie ai suggerimenti dati!
L'unica cosa che mi manca è la dimostrazione della seconda disequazione del terzo esercizio; ho provato a riscrivere il tutto in diverse maniere, ma mi riconduco sempre alla prima disequazione!
Qualche suggerimento su come impostarla?
Grazie ancora!
Sono riuscito a svolgere tutti gli esercizi, anche grazie ai suggerimenti dati!
L'unica cosa che mi manca è la dimostrazione della seconda disequazione del terzo esercizio; ho provato a riscrivere il tutto in diverse maniere, ma mi riconduco sempre alla prima disequazione!
Qualche suggerimento su come impostarla?
Grazie ancora!
Ora che ho un po' di tempo, ti mostro come l'avevo pensata inizialmente poi, visto che non ha funzionato, come l'ho ripensata cercando di non tirare in ballo funzioni speciali e argomenti del corso che comunque potresti non aver ancora visto.
In generale, dati $2n + 1 $ numeri positivi $x_k $, $ k = 0, 1, ... , 2n $, si ha:
$min{x_0, x_1, ..., x_{2n}} <= HM(x_0, x_1, ..., x_{2n}) = \frac{2n + 1}{\sum_{k = 0}^{2n}1/x_k} $
Nel caso in esame $x_k := 3n + k + 1 $, quindi naturalmente il minimo è $x_0 = 3n + 1 $ e si ha:
$ 3n + 1 < \frac{2n + 1}{\sum_{k = 0}^{2n}1/(3n + k + 1)} \implies \sum_{k = 0}^{2n}1/(3n + k + 1) < (2n + 1)/(3n + 1) $
Il fatto è che non si può dire che $ (2n + 1)/(3n + 1) < 2/3 $, anche se poi facendo il limite per $n \to +\infty $ il limite risulta $2/3 $, quindi ho pensato di fare così:
$ 1/(3n + 1) + 1/(3n + 2) + ... + 1/(4n) + 1/(4n + 1) + ... + 1/(5n) + 1/(5n + 1) = $
$= \sum_{k = 1}^n 1/(3n + k) + \sum_{k = n + 1}^{2n} 1/(3n + k) + 1/(5n + 1) = $
Posto $j := k - n $, per $k = n + 1$ si ha $j = 1$; per $k = 2n$ si ha $j = n $, per cui si ha:
$ \sum_{k = 1}^n 1/(3n + k) + \sum_{k = n + 1}^{2n} 1/(3n + k) + 1/(5n + 1) = $
$ = \sum_{k = 1}^n 1/(3n + k) + \sum_{j = 1}^n 1/(4n + j) + 1/(5n + 1) $
Richiamando poi $j$ con $k$ si ha:
$ \sum_{k = 1}^n 1/(3n + k) + \sum_{j = 1}^n 1/(4n + j) + 1/(5n + 1) = $
$ = \sum_{k = 1}^n 1/(3n + k) + \sum_{k = 1}^n 1/(4n + k) + 1/(5n + 1) = $
$ = \sum_{k = 1}^n [(4n + k)+(3n + k)]/((3n + k)(4n + k)) + 1/(5n + 1) = $
$ = \sum_{k = 1}^n (7n + 2k)/((3n + k)(4n + k)) + 1/(5n + 1) $
A questo punto, osservando che tutti i termini della somma sono sicuramente minori di quello che si ottiene per $k = 1 $, ho fatto la stima seguente:
$ \sum_{k = 1}^n (7n + 2k)/((3n + k)(4n + k)) + 1/(5n + 1) < (n(7n + 2))/((3n + 1)(4n + 1)) + 1/(4n + 1) = (7n^2 + 5n + 1)/(12n^2 + 7n + 1) < (8n^2)/(12n^2) = 2/3 $
Controlla i conti perché non è detto che non li abbia sbagliati... Naturalmente non escludo che possano esserci metodi diversi e magari anche più semplici...
In generale, dati $2n + 1 $ numeri positivi $x_k $, $ k = 0, 1, ... , 2n $, si ha:
$min{x_0, x_1, ..., x_{2n}} <= HM(x_0, x_1, ..., x_{2n}) = \frac{2n + 1}{\sum_{k = 0}^{2n}1/x_k} $
Nel caso in esame $x_k := 3n + k + 1 $, quindi naturalmente il minimo è $x_0 = 3n + 1 $ e si ha:
$ 3n + 1 < \frac{2n + 1}{\sum_{k = 0}^{2n}1/(3n + k + 1)} \implies \sum_{k = 0}^{2n}1/(3n + k + 1) < (2n + 1)/(3n + 1) $
Il fatto è che non si può dire che $ (2n + 1)/(3n + 1) < 2/3 $, anche se poi facendo il limite per $n \to +\infty $ il limite risulta $2/3 $, quindi ho pensato di fare così:
$ 1/(3n + 1) + 1/(3n + 2) + ... + 1/(4n) + 1/(4n + 1) + ... + 1/(5n) + 1/(5n + 1) = $
$= \sum_{k = 1}^n 1/(3n + k) + \sum_{k = n + 1}^{2n} 1/(3n + k) + 1/(5n + 1) = $
Posto $j := k - n $, per $k = n + 1$ si ha $j = 1$; per $k = 2n$ si ha $j = n $, per cui si ha:
$ \sum_{k = 1}^n 1/(3n + k) + \sum_{k = n + 1}^{2n} 1/(3n + k) + 1/(5n + 1) = $
$ = \sum_{k = 1}^n 1/(3n + k) + \sum_{j = 1}^n 1/(4n + j) + 1/(5n + 1) $
Richiamando poi $j$ con $k$ si ha:
$ \sum_{k = 1}^n 1/(3n + k) + \sum_{j = 1}^n 1/(4n + j) + 1/(5n + 1) = $
$ = \sum_{k = 1}^n 1/(3n + k) + \sum_{k = 1}^n 1/(4n + k) + 1/(5n + 1) = $
$ = \sum_{k = 1}^n [(4n + k)+(3n + k)]/((3n + k)(4n + k)) + 1/(5n + 1) = $
$ = \sum_{k = 1}^n (7n + 2k)/((3n + k)(4n + k)) + 1/(5n + 1) $
A questo punto, osservando che tutti i termini della somma sono sicuramente minori di quello che si ottiene per $k = 1 $, ho fatto la stima seguente:
$ \sum_{k = 1}^n (7n + 2k)/((3n + k)(4n + k)) + 1/(5n + 1) < (n(7n + 2))/((3n + 1)(4n + 1)) + 1/(4n + 1) = (7n^2 + 5n + 1)/(12n^2 + 7n + 1) < (8n^2)/(12n^2) = 2/3 $
Controlla i conti perché non è detto che non li abbia sbagliati... Naturalmente non escludo che possano esserci metodi diversi e magari anche più semplici...
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