Valore dell'integrale
Ciao a tutti, volevo proporre il seguente esercizio:
Qual è il valore dell'integrale della funzione $f(x,y) = e^(-x+1)y^2$ sull'insieme ${(x,y) : 0<=x<=1 , 0<=y<=2}$?
Qual è il valore dell'integrale della funzione $f(x,y) = e^(-x+1)y^2$ sull'insieme ${(x,y) : 0<=x<=1 , 0<=y<=2}$?
Risposte
Integrando prima in y si ottiene:
e^(1-x)y^3 * 1/3 e incrementando fra 0 e 2 si ottiene:
e^(1-x) 8/3
Integrando ora in x si ottiene:
8/3 e^(1-x)/(-1) e incrementando fra 0 e 1:
-8/3(1-e)
Se non ho sbagliato i conti il risultato è -8/3 (1-e)
e^(1-x)y^3 * 1/3 e incrementando fra 0 e 2 si ottiene:
e^(1-x) 8/3
Integrando ora in x si ottiene:
8/3 e^(1-x)/(-1) e incrementando fra 0 e 1:
-8/3(1-e)
Se non ho sbagliato i conti il risultato è -8/3 (1-e)
Anche a me torna così.
Giampfrank, ti voglio porre questo semplice quesito sugli integrali doppi:
$\int_Cdxdy:C={x\inRR,y\inRR:x^2+y^2\leR^2}$
Dopo averne calcolato il valore dire che cosa rappresenta.
Giampfrank, ti voglio porre questo semplice quesito sugli integrali doppi:
$\int_Cdxdy:C={x\inRR,y\inRR:x^2+y^2\leR^2}$
Dopo averne calcolato il valore dire che cosa rappresenta.
Bell'esercizio!
Per prima cosa, vedo che $x^2+y^2=r^2$ è' l'equazione di una circonferenza con centro nell'origine $(x=0, y=0)$ e raggio $r$. L'equazione $x^2+y^2<=r^2$ rappresenta quindi il cerchio di raggio $r$
L'integrale credo sia definito in una regione normale di primo tipo, in cui lo stesso integrale doppio non è calcolato in base ai rettangoli ma in base ad un cerchio di raggio $r$. In pratica si va a calcolare il volume della sfera di raggio $r$ con centro nell'origine degli assi.
Credo sia questo:
$\int_0^Rdxdy=\int_0^sqrt(R)[\int_0^sqrt(R)(x^2+y^2)dx]dy=\int_0^sqrt(R)(Rsqrt(R))/3dy=1/3R^2$
Per prima cosa, vedo che $x^2+y^2=r^2$ è' l'equazione di una circonferenza con centro nell'origine $(x=0, y=0)$ e raggio $r$. L'equazione $x^2+y^2<=r^2$ rappresenta quindi il cerchio di raggio $r$
L'integrale credo sia definito in una regione normale di primo tipo, in cui lo stesso integrale doppio non è calcolato in base ai rettangoli ma in base ad un cerchio di raggio $r$. In pratica si va a calcolare il volume della sfera di raggio $r$ con centro nell'origine degli assi.
Credo sia questo:
$\int_0^Rdxdy=\int_0^sqrt(R)[\int_0^sqrt(R)(x^2+y^2)dx]dy=\int_0^sqrt(R)(Rsqrt(R))/3dy=1/3R^2$
Ti do una indicazione:
L'integrale di una funzione unitaria su un dominio piano si usa per calcolare l'area di tale dominio, se si ha un dominio tridimensionale, per calcolare il volume, in $RR^n$ per calcolare in genere la misura dell'insieme, quindi in questo caso...
in ogni caso il risultato non è quello.
L'integrale di una funzione unitaria su un dominio piano si usa per calcolare l'area di tale dominio, se si ha un dominio tridimensionale, per calcolare il volume, in $RR^n$ per calcolare in genere la misura dell'insieme, quindi in questo caso...
in ogni caso il risultato non è quello.
Nel momento che si riconsoce che stiamo parlando di un cerchio, basterà fare il giusto cambio di variabili, no?
L'integrale proposto,senza fare nessun calcolo!, e' semplicemente l'area del cerchio $piR^2$
Ciao.
Archimede.
Ciao.
Archimede.
Infatti Archimede... 
Volevo che fosse lui a rispondere...
Cmq niente rancori adesso però giampfrak devi farci vedere come viene fuori quel risultato.
Volevo che fosse lui a rispondere...Cmq niente rancori adesso però giampfrak devi farci vedere come viene fuori quel risultato.
@cavalli
Data la disinvoltura (diciamo cosi'!) con cui giamfrank manipola gli integrali
doppi,ti suggerisco di assegnare al medesimo integrali piu' immediati e non
del tipo interpretativo.Non lo faccio io perche sei te che ti sei proposto come
tutor.Io,piu' modestamente, gli esercizi li risolvo (quando mi riesce...)
Ciao.
Archie
Data la disinvoltura (diciamo cosi'!) con cui giamfrank manipola gli integrali
doppi,ti suggerisco di assegnare al medesimo integrali piu' immediati e non
del tipo interpretativo.Non lo faccio io perche sei te che ti sei proposto come
tutor.Io,piu' modestamente, gli esercizi li risolvo (quando mi riesce...)
Ciao.
Archie
ok mi ci vuole un pochino però...ciao
Ehi archimede, non volevo essere offensivo, non era assolutamente mia intenzione... Ho postato quell'integrale soltanto perchè credevo che potesse esser utile per lui vedere anche questa sfaccettatura degli integrali. Sicuramente non mi sono proposto come tutor... 
Ho solo cercato di ravvivare un pò l'ambiente...
Ho solo cercato di ravvivare un pò l'ambiente...
Io posto come avrei fatto quell'integrale, facendo finta di non conoscere a priori l'area del cerchio:
$\int_{{x^2+y^2\leqR^2}}dxdy=\int_{{({0\le\rho\leR}),({0\le\theta\le2\pi}):}}\rhod\rhod\theta=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^R\rhod\rho=2\pi[\rho^2/2]_0^R=2\piR^2/2=\piR^2$
Che è proprio l'area de cerchio!
$\int_{{x^2+y^2\leqR^2}}dxdy=\int_{{({0\le\rho\leR}),({0\le\theta\le2\pi}):}}\rhod\rhod\theta=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^R\rhod\rho=2\pi[\rho^2/2]_0^R=2\piR^2/2=\piR^2$
Che è proprio l'area de cerchio!
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