Valore atteso di una funzione a tratti
vorrei calcolare il valore atteso di una funzione a tratti composta per metà da una uniforme e per metà da una normale
qualcosa di graficamente simile all'immagine sottostante
questa funzione definisce una distribuzione di probabilità e quindi capisco che il problema possa sembrare di tipo statistico, ma in realtà è analitico.
se definisco la funzione così
[tex]\begin{cases}
\frac{1}{2\mu} \mathrm{for}\ 0\le x \le \mu \\
\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \mathrm{for}\ \mu\le x \le +\infty\\
\end{cases}[/tex]
dove [tex]\mu[/tex] è la media della normale, [tex]\sigma[/tex] la sua deviazione standrard
la uniforme invece è definita nell'intervallo [a,b], ma a è sempre 0 e b è uguale a [tex]2\mu[/tex]
come ricavo la formula del valore atteso se definisco il valore atteso come [tex]\int xf(x)[/tex]
PS: per inciso ovviamente a crearmi problemi è il tratto della normale e non quello della uniforme
qualcosa di graficamente simile all'immagine sottostante
questa funzione definisce una distribuzione di probabilità e quindi capisco che il problema possa sembrare di tipo statistico, ma in realtà è analitico.
se definisco la funzione così
[tex]\begin{cases}
\frac{1}{2\mu} \mathrm{for}\ 0\le x \le \mu \\
\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \mathrm{for}\ \mu\le x \le +\infty\\
\end{cases}[/tex]
dove [tex]\mu[/tex] è la media della normale, [tex]\sigma[/tex] la sua deviazione standrard
la uniforme invece è definita nell'intervallo [a,b], ma a è sempre 0 e b è uguale a [tex]2\mu[/tex]
come ricavo la formula del valore atteso se definisco il valore atteso come [tex]\int xf(x)[/tex]
PS: per inciso ovviamente a crearmi problemi è il tratto della normale e non quello della uniforme
Risposte
Puoi usare i resultutati degli integrali nella sezzione "Integrals of similar form" qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral
per il tuo calcolo.
http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral
per il tuo calcolo.
Questo è l'integrale definito che devo risolvere
[tex]\int^{+\infty}_{\mu} x \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } dx[/tex]
ora su http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_Gaussian_functions
ho trovato la seguente espressione [tex]\int x \phi(x) \, dx = -\phi(x) + C[/tex] dove [tex]\phi(x) = \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}[/tex] cioè la pdf della normale standardizzata
questa relazione rimane invariata anche se la mia [tex]x[/tex] diventa [tex]\frac{(x-\mu)}{\sigma}[/tex] oppure la cosa di complica?
intendo dire vale ancora la relazione [tex]\int x \phi(x) \, dx = -\phi(x) + C[/tex] se [tex]\phi(x)[/tex] è la normale standardizzata
[tex]\int^{+\infty}_{\mu} x \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } dx[/tex]
ora su http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_Gaussian_functions
ho trovato la seguente espressione [tex]\int x \phi(x) \, dx = -\phi(x) + C[/tex] dove [tex]\phi(x) = \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}[/tex] cioè la pdf della normale standardizzata
questa relazione rimane invariata anche se la mia [tex]x[/tex] diventa [tex]\frac{(x-\mu)}{\sigma}[/tex] oppure la cosa di complica?
intendo dire vale ancora la relazione [tex]\int x \phi(x) \, dx = -\phi(x) + C[/tex] se [tex]\phi(x)[/tex] è la normale standardizzata
la cosa si complica...
\(\displaystyle \int_{\mu}^{+\infty} x \phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) \, dx \)
sostituzione:
\(\displaystyle y=\frac{(x-\mu)}{\sigma} \)
\(\displaystyle dy=\frac{dx}{\sigma} \)
\(\displaystyle =\int_{0}^{+\infty} ( \sigma y + \mu ) \phi\left(y\right) \, \sigma dy \)
\(\displaystyle =\sigma^2 \int_{0}^{+\infty} y \phi\left(y\right) \, dy + \mu \sigma\int_{0}^{+\infty} \phi\left(y\right)\, dy \)
\(\displaystyle =\sigma^2 \phi \left( 0 \right) + \frac{\mu \sigma}{2} \)
\(\displaystyle =\frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} + \frac{\mu \sigma}{2} \)
\(\displaystyle \int_{\mu}^{+\infty} x \phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) \, dx \)
sostituzione:
\(\displaystyle y=\frac{(x-\mu)}{\sigma} \)
\(\displaystyle dy=\frac{dx}{\sigma} \)
\(\displaystyle =\int_{0}^{+\infty} ( \sigma y + \mu ) \phi\left(y\right) \, \sigma dy \)
\(\displaystyle =\sigma^2 \int_{0}^{+\infty} y \phi\left(y\right) \, dy + \mu \sigma\int_{0}^{+\infty} \phi\left(y\right)\, dy \)
\(\displaystyle =\sigma^2 \phi \left( 0 \right) + \frac{\mu \sigma}{2} \)
\(\displaystyle =\frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} + \frac{\mu \sigma}{2} \)
ma quindi se
[tex]\int y \phi(y) \, dy = -\phi(y) + C[/tex]
allora
[tex]\sigma^2 \int y \phi\left(y\right) \, dy + \mu \sigma\int \phi\left(y\right)\, dy[/tex]
può essere risolto come
[tex]-\phi(y)\sigma^2 +\mu \sigma\int \phi\left(y\right)\, dy[/tex]
[tex]\left(-\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 }\right)\sigma^2 + \mu\sigma\frac12\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\right)\right][/tex]
che ancora può essere semplificato è riportato in maniera un po' più elengante
[tex]\frac12\mu\sigma\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\right)\right]-\frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}e^{ -\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 }[/tex]
ma credo di aver sbagliato un passaggio, vero?
[tex]\int y \phi(y) \, dy = -\phi(y) + C[/tex]
allora
[tex]\sigma^2 \int y \phi\left(y\right) \, dy + \mu \sigma\int \phi\left(y\right)\, dy[/tex]
può essere risolto come
[tex]-\phi(y)\sigma^2 +\mu \sigma\int \phi\left(y\right)\, dy[/tex]
[tex]\left(-\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 }\right)\sigma^2 + \mu\sigma\frac12\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\right)\right][/tex]
che ancora può essere semplificato è riportato in maniera un po' più elengante
[tex]\frac12\mu\sigma\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\right)\right]-\frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}e^{ -\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 }[/tex]
ma credo di aver sbagliato un passaggio, vero?
Ho adattati il mio scorso post. Il mio risultato è
\(\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} + \frac{\mu \sigma}{2} \)
Spero che non ho fatto errori.
\(\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} + \frac{\mu \sigma}{2} \)
Spero che non ho fatto errori.
"wnvl":
Ho adattati il mio scorso post. Il mio risultato è
\(\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} + \frac{\mu \sigma}{2} \)
Spero che non ho fatto errori.
[tex]\sigma[/tex] o [tex]\sigma^2[/tex] al nominatore della seconda frazione
\(\displaystyle \sigma \)
se invece l'integrale fosse definito tra un generico punto [tex]p[/tex] e [tex]+\infty[/tex]
\(\displaystyle \int_{p}^{+\infty} x \phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) \, dx \)
cosa cambierebbe?
\(\displaystyle \int_{p}^{+\infty} x \phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) \, dx \)
cosa cambierebbe?
Ciao a tutti, ho fatto alcuni tentativi per capire la questione.
Allora indicando la normale standardizzata con [tex]\phi(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{ -\frac{1}{2} x^2}[/tex], stavo provando a generalizzare la forma in maniera tale che la normale che si collega alla uniforme non inizi esattamente in prossimità di $\mu$ ma possa iniziare in un generico punto $p$ tale che, se la uniforme sottende l'area $A$ il ramo di normale abbia un'area pari ad $1-A$.
L'integrale di cui sopra diventa quindi:
\(\displaystyle \int_{p}^{+\infty} x \phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) \, dx \)
sostituzione:
\(\displaystyle y=\frac{(x-\mu)}{\sigma} \)
\(\displaystyle dy=\frac{dx}{\sigma} \)
cambio gli estremi di integrazione:
\(\displaystyle k=\frac{p-\mu}{\sigma} \)
quindi:
\(\displaystyle =\int_{k}^{+\infty} ( \sigma y + \mu ) \phi\left(y\right) \, \sigma dy \)
\(\displaystyle =\sigma^2 \int_{k}^{+\infty} y \phi\left(y\right) \, dy + \mu \sigma\int_{k}^{+\infty} \phi\left(y\right)\, dy \)
\(\displaystyle =\sigma^2 \phi \left( k \right) + \mu \sigma (1-\Phi(k)) \)
\(\displaystyle =\sigma^2 \phi \left( \frac{p-\mu}{\sigma} \right) + \mu \sigma (1-\Phi\left(\frac{p-\mu}{\sigma} \right)) \)
direi che dovrebbe essere ok, in linea con quanto mi aveva suggerito wnvl, no?
Ho fatto poi alcune prove calcolando il valore atteso della funzione di cui parlavo nel primo post rispettivamente per:
Allora indicando la normale standardizzata con [tex]\phi(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{ -\frac{1}{2} x^2}[/tex], stavo provando a generalizzare la forma in maniera tale che la normale che si collega alla uniforme non inizi esattamente in prossimità di $\mu$ ma possa iniziare in un generico punto $p$ tale che, se la uniforme sottende l'area $A$ il ramo di normale abbia un'area pari ad $1-A$.
L'integrale di cui sopra diventa quindi:
\(\displaystyle \int_{p}^{+\infty} x \phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) \, dx \)
sostituzione:
\(\displaystyle y=\frac{(x-\mu)}{\sigma} \)
\(\displaystyle dy=\frac{dx}{\sigma} \)
cambio gli estremi di integrazione:
\(\displaystyle k=\frac{p-\mu}{\sigma} \)
quindi:
\(\displaystyle =\int_{k}^{+\infty} ( \sigma y + \mu ) \phi\left(y\right) \, \sigma dy \)
\(\displaystyle =\sigma^2 \int_{k}^{+\infty} y \phi\left(y\right) \, dy + \mu \sigma\int_{k}^{+\infty} \phi\left(y\right)\, dy \)
\(\displaystyle =\sigma^2 \phi \left( k \right) + \mu \sigma (1-\Phi(k)) \)
\(\displaystyle =\sigma^2 \phi \left( \frac{p-\mu}{\sigma} \right) + \mu \sigma (1-\Phi\left(\frac{p-\mu}{\sigma} \right)) \)
direi che dovrebbe essere ok, in linea con quanto mi aveva suggerito wnvl, no?
Ho fatto poi alcune prove calcolando il valore atteso della funzione di cui parlavo nel primo post rispettivamente per:
[*:3rv62bz6] $A = 85$ ecco il grafico d'esempio[/*:m:3rv62bz6]
[*:3rv62bz6] $A = 60$ ecco il grafico d'esempio[/*:m:3rv62bz6][/list:u:3rv62bz6]
quello che non mi convince è che più $A$ si abbassa, più il valore atteso della distribuzione va a finire molto in avanti, in ascisse dove la pdf a tratti in esame è praticamente nulla. Scusate se sono finito lievemente OT ma questo è un comportamento che non mi aspetto che mi fa pensare di aver sbagliato qualche contro algebrico nella risoluzione dell'integrale per il conto del valore atteso.
Per farvi un esempio nel caso in cui $A = 50$ il valore atteso della distribuzione viene pari a $28.5$ in prossimità di un valore della pdf quasi nullo...ho fatto qualche errore algebrico?
"Sean3236":
\(\displaystyle =\sigma^2 \phi \left( \frac{p-\mu}{\sigma} \right) + \mu \sigma (1-\Phi\left(\frac{p-\mu}{\sigma} \right)) \)
direi che dovrebbe essere ok, in linea con quanto mi aveva suggerito wnvl, no?
Corretto.
Dici che la uniforme sottende l'area A, dunque A deve essere <1, ma poi parli di A=50, ...
La tua definizione de A non è chiara.
La tua definizione de A non è chiara.
A=50%,....
"Sean3236":
Per farvi un esempio nel caso in cui $A = 50$ il valore atteso della distribuzione viene pari a $28.5$ in prossimità di un valore della pdf quasi nullo...ho fatto qualche errore algebrico?
Non vedo il problemà, il valore atteso può anche avere un valore per lo quale la pdf è nullo.
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