Validità di una dimostrazione per assurdo

[CaMpIoN]

Voglio dimostrare che se una successione è monotòna non limitata allora essa è divergente. Ho trovato una dimostrazione per assurdo, ma non so' se è valida.
L'ipotesi è quindi che la successione monotòna non sia limitata, la tesi è che essa diverge. Inizio negando la tesi, quindi essa è convergente, per la definizione di limite di una successione si ha
\(\displaystyle \forall \varepsilon>0 \; \exists n_{\varepsilon} \in \mathbb{N}: \forall n \in \mathbb{N} \; n>n_{\varepsilon} \Rightarrow |a_n-l|<\varepsilon \)
Questo comporta però che, in base al carattere di monotònia della successione, $l$ sia l'estremo superiore o l'estremo inferiore della successione.
Esistendo rispettivamente anche l'estremo inferiore e l'estremo superiore della successione si ha che essa è limitata, contro l'ipotesi, e questo è un'assurdo.
Secondo la vostra opinione è valida come dimostrazione?
Spero si capisca, vi ringrazio in anticipo

[sméagol1]

Mi sembra di sì. Devi ancora dimostrare che se è monotòna convergente allora il limite è il \(\sup\) o l'\(\inf\) (finito).

[CaMpIoN]

La dimostrazione per quella è un'altra, in questo caso la do' per valida.
Grazie della risposta