Utilizzo sportivo del valore assoluto

[nitidoz]

dovrei derivare due volte questa funzione \(\displaystyle f(x) = \sin (x*\left| x \right|) \)

grazie al suggerimento di prima so che si risolve cosi \(\displaystyle f(x) = \left\{ {_{\sin ( - x)\;\;se\,x < 0}^{\sin x\quad \quad se\,x \ge 0}} \right. \)

quindi \(\displaystyle f'(x) = \left\{ {_{ - \cos x\;\;\;\;\;se\,x < 0}^{\cos x\quad \quad se\,x \ge 0}} \right. \)

allora \(\displaystyle f''(x) = \left\{ {_{ - \sin x\;\;\;\;\;se\,x < 0}^{\sin x\quad \quad se\,x \ge 0}} \right. \)

praticamente come f''(x)=f(x) è giusto? dove sbaglio?

[Plepp]

grazie al suggerimento di prima so che si risolve cosi...

Hai sbagliato qui...
\[f(x)=
\begin{cases}
\sin(x\cdot x)=\sin (x^2)&\qquad\text{se}\ x\geq 0\\
\sin(x\cdot (-x))=\sin (-x^2)&\qquad\text{se}\ x< 0
\end{cases}
\]
avevi dimenticato una $x$ e cmq avevi sbagliato la derivata seconda...Ciao

PS: in alcuni casi (magari non in questo, dipende dai punti di vista e da quanto si è rapidi a fare i calcoli) questo "utilizzo sportivo" del valore assoluto è una perdita di tempo. Talvolta ti conviene derivare la funzione "come sta", senza distinguere i vari casi...In particolare, può essere utile per determinare velocemente i punti di non derivabilità, oppure nel momento in cui devi studiare il segno di $f'(x)$.

[nitidoz]

ok ok che errore stupido...

\(\displaystyle f'(x) = \left\{ {_{\cos ({x^2}) \cdot ( - 2x)\;\;\;\;se\,x < 0}^{\cos ({x^2}) \cdot 2x\quad \quad \;se\,x \ge 0}} \right. \)

per "come sta" intendi questo? \(\displaystyle f'(x) = 2 \cdot \left| x \right| \cdot \cos (x \cdot \left| x \right|) \)

[Principe2]

L'operatore di derivazione non e' moltiplicativo; i.e. $(fg)'\ne f'g'$.

[Plepp]

Intendo che devi derivare senza "sciogliere" il valore assoluto (anche se, ripeto, dipende da quel che devi fare; se in questo caso l'esercizio ti chiede solo di derivare e nient'altro, allora continua con l'utilizzo sportivo )

In ogni caso qui avresti
\[f'(x)=\cos(x\cdot|x|)\cdot \left[(|x|\cdot1)+ (x\,\text{sgn}\,x)\right]\]
dove con $\text{sgn}\,x$ ho indicato la funzione segno (derivata di $|x|$):
\[\text{sgn}\,x=\dfrac{|x|}{x}=\dfrac{x}{|x|}\]
come preferisci

[nitidoz]

grazie Plepp.... quindi in definitiva \(\displaystyle D(\left| x \right|) = {\mathop{\rm sgn}} x \) è cosi?

[Fioravante Patrone1]

"nitidoz":grazie Plepp.... quindi in definitiva \(\displaystyle D(\left| x \right|) = {\mathop{\rm sgn}} x \) è cosi?

Quasi...
Ovviamente $|x|$ è derivabile in ogni punto tranne che in $0$, e la sua derivata vale $-1$ se $x < 0$ e $+1$ se $x > 0$.
Quindi coincide con la funzione "sgn" per $x != 0$.

Il problema può esserci in $0$ perché trovi in circolazione varianti nella definizione della funzione "sgn".
A seconda di alcuni tale funzione è definita solo per $x!=0$ e quindi per costoro la tua affermazione è corretta. Vedi, ad esempio: http://planetmath.org/encyclopedia/Heav ... ction.html
Però trovi più frequentemente (ad es, su wiki: http://en.wikipedia.org/wiki/Sign_function) una definizione di "sgn" per cui è definita in 0 (e vale 0). Se viene usata questa seconda definizione, la tua affermazione è falsa.

Come vedi, i problemi derivano solo ed unicamente dal fatto che non c'è una definizione univoca di "sgn", uiversalmente usata.

[Plepp]

Ringrazio il prof Patrone per questa precisazione

In ogni caso ti conviene "dire" che la derivata del $|x|$ è $\frac{|x|}{x}$, così non corri il rischio di un'errata interpretazione...

[nitidoz]

grazie mi è chiaro adesso....

[Seneca1]

Il mio suggerimento (nell'altro topic) era fatto per tagliare la testa al toro. Si può evitare di esplicitare la definizione a tratti della funzione (usando appunto la definizione di valore assoluto), ma se ti chiarisce meglio le cose...