Utilizzo dello jacobiano

[lex1531]

vorrei cercare di chiarirmi una volta per tutte l'ultilizzo del determinante jacobiano
io penso che si debba utilizzare nel momento in cui si fa un cambio di base da coordinate cartesiane a coordinate polari o cilindriche e nei due casi vale $rho^2 sentheta$ e $rho$ ... ma pare che sbaglio!

[Lorin1]

In che senso sbagli?!
Io comunque per non sbagliarmi tendo a non imparare a memoria i valori, preferisco perdere 5 minuti e farmi sempre il calcolo caso per caso...

[lex1531]

nel senso che ho fatto un esercizio dove dopo aver cambiato in coordinate cilindriche ho moltiplicato per il jacobiano e la prof mi ha fatto una partaccia dicendo che non si doveva usare

[ciampax]

Scrivi l'esercizio, altrimenti non sappiamo quale sia il problema.

[lex1531]

testo: detto $Q(0,-1)$ sia $D={P in R^2 : |P-0|<= 1 , |P-Q| >= 1}$
calcolare $int_(+deltaT) (y+1)dx$

svolgimento:

dato che la frontiera di $D$ è simmetrica sull'asse y mi calcolo $gamma_1$ e $gamma_2$ moltiplicandoli poi per 2 volte.

$gamma_1$ è formato dal quarto di circonferenza con centro in $O$ che va da $0,pi/2$ piu l'arco $a$
parametrizzo $gamma_1 {x=rhocostheta,y=rhosintheta$ con $rho=1,theta[-a,pi/2]$

$gamma_2$ è formato dal quarto di circonferenza con centro in $Q$ che va da $0,pi/2$ meno l'arco $a$
parametrizzo $gamma_2 {x=rhocostheta,y=rhosintheta$ con $rho=1,theta[pi/2,a]$

inziamo da questo, si puo fare cosi fare cosi?

[ciampax]

Ma guarda che in questo esercizio non serve usare lo Jacobiano! Sono integrali curvilinei.

[lex1531]

quindi lo jacobiano va usato nelle aree praticamente?

[ciampax]

No, lex: lo Jacobiano va utilizzato in integrali in più di una variabile in cui effettui cambiamenti di coordinate, in generale. Ma prima devi avere un integrale doppio/triplo/quadruplo/ennuplo "fatto e finito" su cui operare.

Qi invece devi calcolare un'integrale curvilineo di secondo tipo della forma $\int_\gamma f(x,y)\ dx$ per il quale esiste una definizione ben precisa: la conosci?

[lex1531]

sisi la conosco: è un integrale di prima specie si svolge sostituendo i valori parametrizzati in $f(x,y)$ e moltiplicando per la norma della derivata prima della curva $gamma$

in altre parole $int_a^b f(gamma(t)) cdot ||gamma_1^{\prime} (t)||dt$

[ciampax]

No, questo scritto così si svolge in un altro modo: se $\gamma(t)=(x(t),y(t))\, t\in[a,b]$ è la parametrizzazione della curva allora si ha

$\int_\gamma f(x,y)\ dx=\int_a^b f(x(t),y(t))\ x'(t)\ dt$

poiché è di seconda specie (sempre ammesso che sia $dx$ e che non sia $ds$ quello che volevi scrivere. Se invece fosse $ds$ allora la tua risposta è corretta).

[lex1531]

si l'integrale è in $dx$ , come mai devo usare quello di seconda specie anzi che quello di prima?

edit: l'integrale di seconda specie nn va utilizzato in caso di funzione vettoriale?, quindi con un campo vettoriale?, ma qui mi da una funzione $f(x,y)=(y+1)$

[ciampax]

Sì scusa, è che sono abituato a chiamarlo io così. In realtà è un integrale di prima specie "particolare" dove il $ds$ coincide con $dx$: in tal caso non hai bisogno di "tutto" l'elemento di lunghezza $\sqrt{(x')^2+(y')^2}\ dt$ ma solo di quello relativo alla direzione di integrazione, in questo caso $dx=x'\ dt$.

In realtà quello che stai facendo è l'integrazione di una forma differenziale del tipo $\omega=f\ dx$ e in questo senso hai a che fare con un integrale di seconda specie (in quanto $f\ dx=(f,0)\cdot(dx,dy)$ se vuoi vederlo vettorialmente).