Utilizzo delle coordinate polari negli integrali doppi
Ciao a tutti ,
Diciamo che il procedimento credo di averlo capito , ma mi trovo sempre in difficoltà in un punto : calcolare il nuovo dominio , una volta impostato l'integrale in coordinate polari. Vi faccio un esempio :
Devo calcolare l'integrale $int int_D xy dxdy$ con $ D={(x,y) \in R^2 : 0
Allora ,la parametrizzazione è $x=\rho cos \theta , y=\rho sen \theta$ , quindi :
$f(\rho , \theta) = \rho^2 cos \theta sen \theta$.
Il mio problema è calcolare il dominio in coordinate polari , cioè la controimmagine di D con $f(\rho , \theta)$ ; sostituisco le coordinate polari in D e ottengo :
$ D={(\rho , \theta): 0<\rho sen \theta<\rho cos \theta , \rho^2<25}$. Ricordando che $\rho$ è un raggio e quindi positivo ottengo dalla prima condizione $0<\rho$ e dalla seconda condizione $\rho<5$ quindi posso dire che $0<\rho<5$ ? E per calcolare l'intervallo di $\theta$ ?
Grazie mille
Diciamo che il procedimento credo di averlo capito , ma mi trovo sempre in difficoltà in un punto : calcolare il nuovo dominio , una volta impostato l'integrale in coordinate polari. Vi faccio un esempio :
Devo calcolare l'integrale $int int_D xy dxdy$ con $ D={(x,y) \in R^2 : 0
Allora ,la parametrizzazione è $x=\rho cos \theta , y=\rho sen \theta$ , quindi :
$f(\rho , \theta) = \rho^2 cos \theta sen \theta$.
Il mio problema è calcolare il dominio in coordinate polari , cioè la controimmagine di D con $f(\rho , \theta)$ ; sostituisco le coordinate polari in D e ottengo :
$ D={(\rho , \theta): 0<\rho sen \theta<\rho cos \theta , \rho^2<25}$. Ricordando che $\rho$ è un raggio e quindi positivo ottengo dalla prima condizione $0<\rho$ e dalla seconda condizione $\rho<5$ quindi posso dire che $0<\rho<5$ ? E per calcolare l'intervallo di $\theta$ ?
Grazie mille
Risposte
Ciao previ91, io sono qui per imparare come te, e quindi prendi con le molle quello che dico, anzi controlla se ti sembra corretto.
Di fronte a problemi di questo tipo ho l'abitudine di cercare di farmi un disegno, tanto per farmi un'idea...
Allora abbiamo una funzione in 2 variabili $f(x,y)=xy$ a me sembra di immaginare una strana curva positiva sopra il I e III quadrante del piano xy, negativa negli altri due e uguale a 0 lungo gli assi x e y, l'origine mi pare una sella.
Poi devo calcolare il volume sopra una regione piana nel I quadrante del piano xy, delimitata dalla retta x (y>0) e dalla retta uscente dall'origine di equazione $y=3/4x$, per disegnarla avanzo di 4 quadretti e mi alzo di 3, infine quest'angolo è limitato da un arco di circonferenza di raggio 5 ($rho=5$), come dicevi tu.
Quindi se passo in coordinate polari, l'angolo varia da $0$ (asse x) a $theta$ che ottengo facendo la tangente del coefficiente angolare della mia retta, ti pare sensato?
Di fronte a problemi di questo tipo ho l'abitudine di cercare di farmi un disegno, tanto per farmi un'idea...
Allora abbiamo una funzione in 2 variabili $f(x,y)=xy$ a me sembra di immaginare una strana curva positiva sopra il I e III quadrante del piano xy, negativa negli altri due e uguale a 0 lungo gli assi x e y, l'origine mi pare una sella.
Poi devo calcolare il volume sopra una regione piana nel I quadrante del piano xy, delimitata dalla retta x (y>0) e dalla retta uscente dall'origine di equazione $y=3/4x$, per disegnarla avanzo di 4 quadretti e mi alzo di 3, infine quest'angolo è limitato da un arco di circonferenza di raggio 5 ($rho=5$), come dicevi tu.
Quindi se passo in coordinate polari, l'angolo varia da $0$ (asse x) a $theta$ che ottengo facendo la tangente del coefficiente angolare della mia retta, ti pare sensato?
Mi piace il tuo ragionamento !!
Io avevo disegnato il dominio iniziale in due dimensioni , ottenendo la porzione di circonferenza appunto tra l'asse x ed il punto di intersezione tra le retta $y=3/4 \pi$ e la circonferenza di raggio 5 e centro l'origine ; quindi l'angolo varia in quello spazio !
Il tuo ragionamento è giustissimo , io mi perdo invece nel sostituire le espressioni nel dominio e a cercare di risolvere disequazioni trigonometriche quando magari a volte basta osservare meglio il disegno !
Grazie !!
Io avevo disegnato il dominio iniziale in due dimensioni , ottenendo la porzione di circonferenza appunto tra l'asse x ed il punto di intersezione tra le retta $y=3/4 \pi$ e la circonferenza di raggio 5 e centro l'origine ; quindi l'angolo varia in quello spazio !
Il tuo ragionamento è giustissimo , io mi perdo invece nel sostituire le espressioni nel dominio e a cercare di risolvere disequazioni trigonometriche quando magari a volte basta osservare meglio il disegno !
Grazie !!
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