Utilizzo del confronto asintotico
Buon pomeriggio, mi sono accorto che nella risoluzione del calcolo dei limiti, mi ritrovo abbastanza spesso ad "abusare" delle stime di confronto asintotico per eliminare termini dall'espressione, il chè ovviamente mi ha indotto più volte all'errore.
A tal proposito, vi propongo un esempio in cui avrei usato tale modus operandi: $\lim_{x \to \infty}(root(3)(x^3+2x^2+1)-x)$.
Avrei eliminato $2x^2$ e $+1$ e avrei eseguito la rimanente radice cubica, andando infine a trovare erroneamente che il limite fa $0$.
In realtà, il testo mostra come ricorrendo a dei limiti notevoli sia possibile giungere al corretto risultato di $2/3$.
La mia domanda è: come faccio a sapere quando un ragionamento è valido rispetto ad un altro? Quando conviene confrontare asintoticamente, quando provare a "ricreare le condizioni ideali" di un limite notevole?
Grazie,
Francesco
A tal proposito, vi propongo un esempio in cui avrei usato tale modus operandi: $\lim_{x \to \infty}(root(3)(x^3+2x^2+1)-x)$.
Avrei eliminato $2x^2$ e $+1$ e avrei eseguito la rimanente radice cubica, andando infine a trovare erroneamente che il limite fa $0$.
In realtà, il testo mostra come ricorrendo a dei limiti notevoli sia possibile giungere al corretto risultato di $2/3$.
La mia domanda è: come faccio a sapere quando un ragionamento è valido rispetto ad un altro? Quando conviene confrontare asintoticamente, quando provare a "ricreare le condizioni ideali" di un limite notevole?
Grazie,
Francesco
Risposte
Ciao! In linea di massima le stime asintotiche puoi usarle quando le funzioni da stimare sono coinvolte in moltiplicazioni e divisioni: se $f_1$ è asintoticamente equivalente a $f_2$ per $x\to x_0$, ovvero se $f_1(x)/f_2(x)\to 1$ per $x\to x_0$, si ha
\[\lim_{x \to x_0} \dfrac{f_2(x)}{g(x)}=\left(\lim_{x \to x_0} \dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}\right)\cdot\left(\lim_{x \to x_0} \dfrac{f_2(x)}{g(x)}\right)=\lim_{x \to x_0} \dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}\dfrac{f_2(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0} \dfrac{f_1(x)}{g(x)}\]
E' questo il motivo per cui tu puoi "sostituire", ad esempio, $x^2/2$ a $1-\cos x$ e $x$ a $\sin x$, quando calcoli un limite del genere:
\[\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{x^2/2}{x}=0\]
Se provi a riadattare questa dimostrazione al caso di somme e sottrazioni, non ci riesci (e infatti in questo caso non puoi usare a cuor leggero le stime asintotiche, come hai notato). Se ad esempio provi a sostituire $\sin x$ con $x$ nel limite
\[\lim_{x \to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}\]
trovi che il risultato (errato) è $0$, mentre il risultato corretto è $1/6$.
Come hai potuto notare, però, a volte le stime funzionano anche quando le funzioni da stimare sono gli addendi di una somma. Ciò può non accadere, in genere, quando la stima porta a una cancellazione degli infinitesimi (o gli infiniti) dell'ordine più alto (più basso). Esempio: nel limite
\[\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x^2}-1-x^3}{x^2}\]
ottieni il risultato corretto (zero) approssimando $e^{x^2}$ con $1+x^2$; qui l'ordine d'infinitesimo più significativo, a numeratore, è il secondo (è l'infinitesimo $e^{x^2}-1$, di ordine $2$, che "comanda", quando c'è da fare il confronto con il $x^2$ al denominatore).
Invece, nel limite
\[\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1-x}{x^2}\]
la stima, troppo grossolana in questo caso, $e^x-1\approx x$ porta a una cancellazione dei termini del prim'ordine, portandoti a concludere che il risultato è $0$, quando invece è $1/2$.
Probabilmente metabolizzerai il tutto più facilmente quando studierai (supponendo che tu non l'abbia già fatto) gli sviluppi di Taylor.
\[\lim_{x \to x_0} \dfrac{f_2(x)}{g(x)}=\left(\lim_{x \to x_0} \dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}\right)\cdot\left(\lim_{x \to x_0} \dfrac{f_2(x)}{g(x)}\right)=\lim_{x \to x_0} \dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}\dfrac{f_2(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0} \dfrac{f_1(x)}{g(x)}\]
E' questo il motivo per cui tu puoi "sostituire", ad esempio, $x^2/2$ a $1-\cos x$ e $x$ a $\sin x$, quando calcoli un limite del genere:
\[\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{x^2/2}{x}=0\]
Se provi a riadattare questa dimostrazione al caso di somme e sottrazioni, non ci riesci (e infatti in questo caso non puoi usare a cuor leggero le stime asintotiche, come hai notato). Se ad esempio provi a sostituire $\sin x$ con $x$ nel limite
\[\lim_{x \to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}\]
trovi che il risultato (errato) è $0$, mentre il risultato corretto è $1/6$.
Come hai potuto notare, però, a volte le stime funzionano anche quando le funzioni da stimare sono gli addendi di una somma. Ciò può non accadere, in genere, quando la stima porta a una cancellazione degli infinitesimi (o gli infiniti) dell'ordine più alto (più basso). Esempio: nel limite
\[\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x^2}-1-x^3}{x^2}\]
ottieni il risultato corretto (zero) approssimando $e^{x^2}$ con $1+x^2$; qui l'ordine d'infinitesimo più significativo, a numeratore, è il secondo (è l'infinitesimo $e^{x^2}-1$, di ordine $2$, che "comanda", quando c'è da fare il confronto con il $x^2$ al denominatore).
Invece, nel limite
\[\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1-x}{x^2}\]
la stima, troppo grossolana in questo caso, $e^x-1\approx x$ porta a una cancellazione dei termini del prim'ordine, portandoti a concludere che il risultato è $0$, quando invece è $1/2$.
Probabilmente metabolizzerai il tutto più facilmente quando studierai (supponendo che tu non l'abbia già fatto) gli sviluppi di Taylor.
Metti il limite nella forma $lim_(x->infty)xroot (3)(1+2/x+1/x^3)-x $ $=lim_(x->infty) x (root (3)(1+2/x+1/x^3)-1) $ $=lim_(x->infty)(root (3)(1+2/x+1/x^3)-1)/(1/x) $ Poni $1/x=t $ il limite diventa $lim_(t->0)(root (3)(1+ 2t+t^3)-1)/t $;
Adesso osserva che al termine $root (3)(1+2t+t^3)$ si può plausibilmemte sostituire l'equazione della sua tangente nell'immediato intorno del punto $t=0$, cioè $1+(1/3)(2t) $ ossia quello che comunemente chiamiamo asintotico,ed in questo caso è sufficiente ad eliminare la forma indeterminata ed a calcolare il valore esatto del limite $lim_(t->0)(1+(2/3)t-1)/t=2/3$, se ad esempio il limite proposto fosse stato $lim_(x->infty)x (root(3)(x^3+2x^2+1)-x-(2/3))=-4/9$, e posto $t=(1/x)$ si ha in modo equivalente $lim_(t->0)(root (3)(1+2t+t^3)-1-(2/3)t)/t^2=-4/9$, procedendo nel modo come sopra si giungerà alla conclusione che sostituire l'espressione polinomiale della tangente non risulta più efficace ad eliminare l'indeterminazione e serve uno sviluppo polinomiale più accurato che va oltre il termine infinitesimo di primo grado
Adesso osserva che al termine $root (3)(1+2t+t^3)$ si può plausibilmemte sostituire l'equazione della sua tangente nell'immediato intorno del punto $t=0$, cioè $1+(1/3)(2t) $ ossia quello che comunemente chiamiamo asintotico,ed in questo caso è sufficiente ad eliminare la forma indeterminata ed a calcolare il valore esatto del limite $lim_(t->0)(1+(2/3)t-1)/t=2/3$, se ad esempio il limite proposto fosse stato $lim_(x->infty)x (root(3)(x^3+2x^2+1)-x-(2/3))=-4/9$, e posto $t=(1/x)$ si ha in modo equivalente $lim_(t->0)(root (3)(1+2t+t^3)-1-(2/3)t)/t^2=-4/9$, procedendo nel modo come sopra si giungerà alla conclusione che sostituire l'espressione polinomiale della tangente non risulta più efficace ad eliminare l'indeterminazione e serve uno sviluppo polinomiale più accurato che va oltre il termine infinitesimo di primo grado
"Plepp":
Probabilmente metabolizzerai il tutto più facilmente quando studierai (supponendo che tu non l'abbia già fatto) gli sviluppi di Taylor.
Ciao, Plepp, ti ringrazio per la lunga ed esauriente risposta. Ho già studiato gli sviluppi di Taylor, quindi so come approssimare una funzione ad un polinomio che mi semplifichi le cose durante il calcolo. Il dubbio è, appunto, quando farlo e quando no.
Avendomi mostrato esempi in cui non conviene, per quanto possibile, farlo, ragionerò sulla natura degli stessi per cercare di chiarirmi le idee.
Grazie, ancora!
"Frank01":
[quote="Plepp"]Probabilmente metabolizzerai il tutto più facilmente quando studierai (supponendo che tu non l'abbia già fatto) gli sviluppi di Taylor.
Ciao, Plepp, ti ringrazio per la lunga ed esauriente risposta. Ho già studiato gli sviluppi di Taylor, quindi so come approssimare una funzione ad un polinomio che mi semplifichi le cose durante il calcolo. Il dubbio è, appunto, quando farlo e quando no.
Avendomi mostrato esempi in cui non conviene, per quanto possibile, farlo, ragionerò sulla natura degli stessi per cercare di chiarirmi le idee.
Grazie, ancora!
[/quote]Benissimo! Allora non ci vuole niente a capire come stanno le cose. Fermo restando ciò che ho detto nel post precedente, c'è sempre un metodo infallibile per capire se la stima che stai usando è adeguata oppure no: gli o-piccolo. Mi spiego con un esempio.
Riprendiamo il limite
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}=1/6\]
Come ti dicevo, se provi a "sostituire" $\sin x$ con $x$ trovi un risultato sbagliato. In effetti non c'è scritto da nessuna parte che questa operazione che tu vorresti fare è lecita. Questo semplicemente perché $\sin x\ne x$, mentre la relazione corretta è
\[\sin x=x+o(x)\]
(che non è altro che una trascrizione del limite notevole del seno). Sostituendo troveresti
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\dfrac{o(x)}{x^3}\]
e qui non potresti proseguire con i calcoli, il che ti farebbe rendere conto del fatto che la stima adottata è troppo grossolana. Non potresti proseguire con i calcoli perché di quell'$o(x)$ non sai niente: sai solo che è una quantità che, divisa per $x$, tende a zero quando $x\to 0$ (e questa è proprio la definizione di $o(x)$). Quindi, a priori, potrebbe essere $o(x)=x^2$, $o(x)=x^3$, $o(x)=x^4$ ecc. Se fosse $o(x)=x^2$, troveresti un risultato, se fosse $o(x)=x^3$ ne troveresti un altro, se fosse $o(x)=x^4$ ne troveresti un altro ancora...in definitiva, non puoi dir nulla su quanto valga effettivamente quel limite.
Proviamo a fare una stima più accurata, utilizzando come funzione approssimante il polinomio di McLaurin di $\sin x$ di ordine $3$, anziché quello di ordine $1$:
\[\sin x = x-x^3/6+o(x^3)\]
Sostituendo abbiamo
\[ \lim_{x \to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}= \lim_{x \to 0}\dfrac{x^3/6+o(x^3)}{x^3}= 1/6 + \lim_{x \to 0}\dfrac{o(x^3)}{x^3}=1/6\]
Potresti provare ora a rifare questo percorso con gli altri esempi che ho postato ieri, per prendere dimestichezza con questo meccanismo
Scusate gli esempi che ho riportato, non forniscono bene l'idea del perché l'asintotico in certi casi puo non risultare sufficiente per arrivare al corretto valore del limite?
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