Utilizzo degli o-piccoli nel calcolo di serie

[serafila]

$\sum_{n=1}^infty (-1)^(n-1) * sqrt (n) * (1/n-1/(3n^3) +o(1/n^3)) $ = Z

Posso risolverla cosi:

$(1/n-1/(3n^3) +o(1/n^3)) $ asintotico a $ +infty $ a $ 1/n $

da cui:

Z= $\sum_{n=1}^infty (-1)^(n-1) * 1/sqrt (n) $

che converge per Leibnitz

[Plepp]

Se la domanda è "è corretto tutto ciò?", allora sì, va bene

[serafila]

Si, era quella la domanda. Ok, ora pongo una nuova serie:

$\sum_{k=1}^infty (1-log(e+(1/n)^(1/e)))^n $

La mia idea è di sviluppare asintoticamente (1/n)^(1/e) come se fosse del tipo: (1+t)^a

$1/n=t+1$ ; $(1/n)^(1/e)=(t+1)^(1/e) $ asintotico a $+infty$ a $ 1+t/e+o(t) = 1+1/e((1-n)/n) +o((1-n)/n) $ asintotico a $ +infty $ a $1-1/e+o(1)$

Ora la mia serie è diventata:

$\sum_{k=1}^infty (1-log(e+1-1/e+o(1)))^n $

Ora, trascurando l'o-piccolo il logaritmo viene circa 1,2 ; 1-1,2=-0,2<0 e la mia serie è circa:

$\sum_{k=1}^infty (-0,2)^n $ che è divergente. Va bene? Ma come mi comporto con l'o-piccolo di 1?

Tra l'altro ho provato a fare il calcolo con http://it.numberempire.com/seriescalculator.php ma non va. Gli scrivo questa espressione: (1-log(%e+(1/n)^(1/%e)))^n

[serafila]

Nessuno mi aiuta qui?

[Noisemaker]

osservando il termine generale, si verifica facilmente che è a termini positivi; applicando allora il criterio della radice, si ha:
\begin{align}
\left[1-\ln\left(e+\frac{1}{n}\right)^{1/e}\right]^n&=\left[1-\frac{\ln\left(e+\frac{1}{n}\right)}{e } \right]^n\stackrel{Sqrt}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\left[1-\frac{\ln\left(e+\frac{1}{n}\right)}{e } \right]^n}=\lim_{n\to+\infty} \left[1-\frac{\ln\left(e+\frac{1}{n}\right)}{e } \right] \\
&=1-1/e<\lambda<1\to \mbox{converge}
\end{align}

EDIT: mi sa che mi sono dimenticato una parentesi! il termine generale è
\begin{align}
\left[1-\ln\left(e+\frac{1}{n^{1/e}}\right)\right]^n;
\end{align}
in questo caso non si tratta di una serie a termini positivi; considerandone il valore assoluto del termine generale ed applicando il criterio della radice, abbiamo:
\begin{align}
\left|1-\ln\left(e+\frac{1}{n^{1/e}}\right)\right|^n&\stackrel{Sqrt}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\left|1-\ln\left(e+\frac{1}{n^{1/e}}\right)\right|^n}=\lim_{n\to+\infty} \left|1-\ln\left(e+\frac{1}{n^{1/e}}\right)\right| \\
&=\lim_{n\to+\infty} \left|1-\ln e-\ln\left(1+\frac{1}{en^{1/e}}\right)\right|\sim\lim_{n\to+\infty} \left| -\frac{1}{en^{1/e}}\right|=0<\lambda<1\to \mbox{converge.}
\end{align}

[serafila]

Sbagliavo prima: non posso applicare lo sviluppo asintotico del tipo (1+t)^a a (1/n)^1/e perché questo sviluppo si applica quando t--->0 , ma in questo caso 1+t=1/n ; t=(1-n)/n n--->infinito t--->-1