Utilizziamo la definizione di limite

[emmerre1]

$ lim_(x -> 3) $ $ lim_(x -> 3) 1/(2x-1)=1/5 $
abbiamo $ |1/(2x-1)-1/5|=2/5|(3-x)/(2x-1)| $
limitatamente ai numeri reali x per cui 2
DI TUTTO LO SVOLGIMENTO DI QUESTO ESERCIZIO CI HO CAPITO POCO O NULLA POTRESTE AIUTARMI SPIEGANDOMI PASSO PASSO OGI PASSAGGIO E SOPRATTUTTO IL PERCHè DI DETERMINATI PASSAGGI. GRAZIE

[Zero87]

Benvenuto/a al forum e buona permanenza (vedo che è il tuo primo post).

"emmerre":DI TUTTO LO SVOLGIMENTO DI QUESTO ESERCIZIO CI HO CAPITO POCO O NULLA

Allora potresti iniziare con il dirci da dove non capisci: magari è inutile parafrasare un intero esercizio se non capisci (ad es.) gli ultimi passaggi.

PS. Evita il maiuscolo (equivale ad urlare).

[emmerre1]

Chiedo scusa per le urla, ma è solo frustrazione; vi prego lasciatemi sfogare...cmq la definizione di limite mi è chiara ma poi vedo esercizi come questo e mi perdo. Diciamo che io lo svolgerei in modo diverso: avrei il mio bel valore assoluto di f(x) < di epsilon per cui avrei -epsilon

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[Zero87]

"emmerre":avrei il mio bel valore assoluto di f(x) < di epsilon per cui avrei -epsilon
Infatti, in genere questa è la procedura "standard".

Credo di aver capito, dunque, cosa non hai capito. Vedrò di aiutarti a fare luce (sperando di riuscirci! ).

Suppongo che fino a qui
$|1/(2x-1)-1/5|=2/5|(3-x)/(2x-1)| $
hai capito: ha solamente operato la somma e portato fuori il $2/5$ sapendo che $|ab|=|a||b|$ per $a,b$ reali (in seguito $|2/5|=2/5$ per ovvie ragioni.

Ora ti si dice che per $2 Per definizione di massimo e minimo hai $\text{min di f su} (2,4) < 2x-1 < \text{max di f su} (2,4)$ in $(2,4)$: suppongo che non è qui il problema ma per chiarezza ho ripetuto questo passaggio.

Allora, il tuo testo (o il prof, non so chi è che svolge l'esercizio!) dice
$|\frac{1}{2x-1}-1/5| < 2/(15) |x-3|$
Innanzitutto questa scrittura non mi piace molto (solo estetica), preferisco tornare sul
$2/5 |\frac{3-x}{2x-1}|$
dato che il primo membro è uguale a quella quatità (questa somma la fa all'inizio).

Ripartiamo, la scrittura difficile è questa
$2/5 |\frac{3-x}{2x-1}|< 2/(15) |x-3|$
(ho solamente sostituito il primo termine con la somma perché secondo me serve a visualizzare meglio il tutto).

Come la ottiene? Analizziamo!
$2/5 |\frac{3-x}{2x-1}|$
E' senz'altro una quantità non negativa dato che è un modulo per un numero reale positivo: inoltre per le proprietà dei moduli (che ho citato in precedenza)
$2/5 |\frac{3-x}{2x-1}|=2/5 \frac{|3-x|}{|2x-1|}$
Si è osservato che nell'intervallo di riferimento il denominatore è compreso tra 3 e 7. Possiamo, dunque operare una maggiorazione scegliendo il minimo (dovresti sapere - magari in altri termini - che in una frazione a termini positivi, a parità di numeratore, se scegli un denominatore minore l'intero valore della frazione aumenta)
$2/5 \frac{|3-x|}{|2x-1|}<2/5 \frac{|3-x|}{3}$
dunque
$2/5 \frac{|3-x|}{|2x-1|}<2/(15) |3-x|$
Ora, l'$|x-3|$ finale deriva dal fatto che in modulo $|-a|=|a|$ per qualsiasi quantità reale (detto terra terra, tanto il segno va tolto se si fa il valore assoluto!).

Possiamo dunque studiare solo $2/(15) |x-3|$ (in $(2,4)$). Il perché te lo da il teorema dei due carabinieri:
$0\le2/5 |\frac{3-x}{2x-1}|<2/(15) |x-3|$
se dimostriamo che la seconda tende a zero per il teorema dei due carabinieri tende a zero anche la prima (lo zero iniziale è dovuto al fatto che, come ho detto all'inizio, la prima è un modulo per un reale positivo).

Spostiamo, dunque, l'attenzione sulla seconda, ovvero
$2/(15) |x-3|$
Nell'intervalloo $(2,4)$ per motivi analoghi a quanto detto nel denominatore iniziale, abbiamo $-1 A quel punto, se si pone $\delta$ come minimo tra $1$ e $15/2 \varepsilon$ (il $15/2$ è il solito trucchetto che fa sparire la frazione al secondo membro), otteniamo la tesi.