Uso di Taylor per calcolare gli errori

[littleflower9]

Sono del tutto bloccata sui seguenti quesiti:
a)Calcolare il valore di cos(-3)con una precisione di 10^-4
b)Calcolare il valore di log(9/10) con un errore inferiore a 10^-6
c)Calcolare il valore di sin(1/2)+cos(1/2) con una precisione di 10^-3
Capisco che devo applicare il polinomio di Taylor ma non il come

[cooper1]

ciò che ti serve è esattamente il teorema di Taylor con resto di Lagrange (quindi $R=(f^(n+1)(c))/((n+1)!)(x-x_0)^(n+1)$).
vogliamo calcolare $cos(-3)$. l'usuale sviluppo del coseno attorno a 0 non va bene perchè 0 e -3 sono troppo lontani tra loro. prendiamo quindi un punto che sia "furbo" per il coseno - leggi del quale sappiamo calcolare il coseno - e che sia il più vicino possibile a -3: per esempio $x_0 = -pi$
per il teorema sopra menzionato allora posso scrivere $f(x)=f(-pi)+f'(-pi)(x+pi)+(f'' (-pi))/(2!)(x+pi)^2+(f''' (-pi))/(3!)(x+pi)^3+f^((4))(c)/(4!)(x+pi)^4$
sostituendo ora $f(x)=cosx ^^ x=-3$ arriviamo a $cos(-3)=(7-6pi+pi^2)/2 + cosc / 24 (pi-3)^4$
per sapere ora se la precisione va bene dobbiamo verificare che esiste un $c in RR$ tale che $|cosc / 24 (pi-3)^4| <= \text{precisione}$: se esiste siamo apposto, il numero prima del resto è la stima di $cos(-3)$, in caso contrario lo sviluppo al terzo ordine era troppo poco ed allora basta andare avanti

[littleflower9]

E come quale valore di x0 dovrei mettere se ho log(9/10) e sin(1/2)+cos(1/2)?

[cooper1]

con 1/2 secondo me puoi tenere quello.
per quanto riguarda il logaritmo tieni conto che esiste lo sviluppo di $log(1+x)$ e quindi possiamo fare la cosa seguente che ci torna comoda: $log(9/10)=log(0.9)=log(1-0.1)$ dove quindi per poter espandere $x=-0.1$ che evidentemente è già "piccolo"