Uso delle maggiorazioni per dimostrare continuità

[StarRover559]

Sia f: R^2 -> R la funzione

$ f(x,y)=1+[(x*sin (xy))/(x^2+y^4)] $ per (x,y) $ != $ (0,0)

f(0,0)=1

Studiare la continuità di f nell’origine.


Affinchè la funzione sia continua in (0,0) il limite per (x,y)->(0,0) di |f(x,y)-f(0,0)| deve essere 0.

|f(x,y)-f(0,0)|= | $ 1+[(x*sin (xy))/(x^2+y^4)]-1 $ | = | $ (x*sin (xy))/(x^2+y^4) $ |

Arrivati a questo punto quali maggiorazioni devono essere usate?

sin(xy) $ <= $ |xy| ? Vale questa?

[donald_zeka]

Secondo me il limite non esiste, considera per esempio il voncolo $y=x$

[StarRover559]

Dovrei quindi utilizzare il criterio di non continuità facendo la composizione di funzioni f( $ varphi $ (t)) con $ varphi $ (t)= (t t), $ varphi $ (0)= (0 0), giusto?

Però, per arrivare a supporre la non-continuità, non si dovrebbe arrivare, tramite le maggiorazioni, ad una che non consenta di proseguire con quel metodo?

Ossia: (riprendendo i calcoli dal post precedente)

| $ [x*sin(xy)]/[x^2+y^4] $ | $ <= $ $ (| x| *| xy|)/ (x^2+y^4) $

[fra_62]

Nello studio di un limite in due variabili conviene sempre prima dimostrarne la non esistenza attraverso le restrizioni o le coordinate polari.

Una volta provate alcune strade si giunge ad un candidato limite e allora si verifica con le maggiorazioni.

La maggiorazione che hai fatto è giusta, prosegui maggiorando ancora e riduciti ad una funzione più semplice


p.s. Per me il limite esiste

[donald_zeka]

Nella direzione y=0 il limite fa 0, nella direzione y=x il limite fa infinito. È sufficiente per dire che tale limite non esiste e la funzione non è continua in (0,0) senza girarci troppo attorno con coordinate polari o roba del genere.

[fra_62]

Infinito?

Nella direzione $ y=x $

$ lim_(x->0) x^3/(x^2+x^4)=lim_(x->0)x^3/(x^2(1+x^2))=lim_(x->0)x/(1+x^2)=0 $


A me risulta che esista in questa direzione.

[StarRover559]

..... $ <= $ $ [(x^2)/(x^2+y^4)]*| y| $ $ <= | y| rarr 0 $ per (x,y) $ rarr (0,0) $

e quindi è continua, no?

[fra_62]

Precisamente, la maggiorazione è corretta.

In generale, ripeto, vai per tentativi con le restrizioni.
Quando vedi che i risultati coincidono verifichi con la maggiorazione.