Usare l'identità del parallelogramma

[Zero87]

In un esercizio mi si chiede di dimostrare l'identità del parallelogramma in H spazio di Hilbert e di usarla per dimostrare che $L^p$ non è uno spazio di Hilbert per $p\ne2$.

L'identità del parallelogramma l'ho dimostrata più (o meno) agevolmente, basta fare i calcoli e ricordarsi delle proprietà del prodotto scalare.
In seguito, però le cose si complicano.

Prendendo, infatti, $||x+y||^p + ||x-y||^p $, sviluppandola (con la definizione di norma $p$), mi vengono pagine di calcoli per cercare di sommare quegli integrali cercando di ricondurmi a contraddire o, comunque, ad intravedere il secondo membro dell'identità stessa...

Purtroppo non ho in mente un altro metodo e ringrazio chi mi da una mano o un'idea...

[gugo82]

Per provare che non vale l'identità del parallelogramma in [tex]$L^p$[/tex] basta trovare un controesempio.

Prova a considerare funzioni caratteristiche di misurabili disgiunti con misure finite, positive e distinte.

[Zero87]

Se considero $||\chi_E+\chi_F||^p+||\chi_E-\chi_F||^p$ con $E$ e $F$ misurabili disgiunti e con misure positive (e $p\ne2$):

$||\chi_E+\chi_F||^p+||\chi_E-\chi_F||^p= 1^p+1^p =2=2(||\chi_E||^p+||\chi_F||^p)$ che, però, riporta (invece non dovrebbe riportare) in quanto se la $\chi_E=1$ l'altra è $0$ e viceversa poiché $E$ e $F$ sono disgiunti...