Usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, risolvere i
Usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, risolvere il seguente problema di ottimizzazione vincolata:
MAX f (x,y) = 4 x^2 + 10 y^ 2 vincolo x^2+ y^2 - 4 = 0
mi aiutate a risolverla .. grazie mille
MAX f (x,y) = 4 x^2 + 10 y^ 2 vincolo x^2+ y^2 - 4 = 0
mi aiutate a risolverla .. grazie mille
Risposte
Benvenuto! Ti conviene leggere il regolamento. Devi proporre almeno un tuo tentativo di risoluzione. Comincia a scrivere il sistema e di' dove ti blocchi! 
allora ho posto a sistema la derivata F' (x) = 8x- lambda 2x =0
la derivata di f' (y) = 20y - lambda 2y= 0
e il vincolo ovvero x^2+y^2-4 = 0
ora mi trovo lambda = 4
y= 0
x = 2 v x= -2
la derivata di f' (y) = 20y - lambda 2y= 0
e il vincolo ovvero x^2+y^2-4 = 0
ora mi trovo lambda = 4
y= 0
x = 2 v x= -2
Quando trovi [tex]$2 \lambda x=8x$[/tex] e [tex]$2 \lambda y=20y$[/tex] devi distinguere due casi: [tex]$x \neq 0$[/tex] oppure [tex]$y \neq 0$[/tex]. (Ovviamente non puoi avere [tex]$(x,y)=(0,0)$[/tex] perché sei sulla circonferenza; infatti la terza equazione ti esclude questo caso)
Nel primo caso, ottieni la tua soluzione. Nel secondo caso, ottieni [tex]$x=0$[/tex] e [tex]$y=\pm2$[/tex].
In sostanza i punti stazionari vincolati sono [tex]$(\pm2,0)$[/tex], [tex]$(0,\pm2)$[/tex]. Ora ti basta calcolare il valore della funzione in questi punti per verificare quali sono di minimo e quali di massimo.
Comunque, anche se il problema richiedeva esplicitamente l'utilizzo dei moltiplicatori di Lagrange, potevi risolvere velocemente anche sostituendo l'equazione del vincolo nell'espressione della funzione. A volte è utile provare anche altre strade, che in altri casi potrebbero essere più semplici.
Nel primo caso, ottieni la tua soluzione. Nel secondo caso, ottieni [tex]$x=0$[/tex] e [tex]$y=\pm2$[/tex].
In sostanza i punti stazionari vincolati sono [tex]$(\pm2,0)$[/tex], [tex]$(0,\pm2)$[/tex]. Ora ti basta calcolare il valore della funzione in questi punti per verificare quali sono di minimo e quali di massimo.
Comunque, anche se il problema richiedeva esplicitamente l'utilizzo dei moltiplicatori di Lagrange, potevi risolvere velocemente anche sostituendo l'equazione del vincolo nell'espressione della funzione. A volte è utile provare anche altre strade, che in altri casi potrebbero essere più semplici.
@antimius, come faresti a sostituire l'equazione del vincolo, cosa ottieni? non conviene trovare semplicemente l'equazione parametrica della circonferenza e inserire quella linea nella tua equazione? fammi capire che sostituzione vorresti fare?
Sì, anche in quel modo faresti molto velocemente.
Io intendevo scrivere [tex]$f(x,y)=4x^2+4y^2+6y^2 \stackrel{x^2+y^2=4}{=}16+6y^2$[/tex] con [tex]$y \in [-2,2]$[/tex]. Trovare massimo e minimo è immediato visto che quella funzione è una parabola ristretta a un compatto.
Io intendevo scrivere [tex]$f(x,y)=4x^2+4y^2+6y^2 \stackrel{x^2+y^2=4}{=}16+6y^2$[/tex] con [tex]$y \in [-2,2]$[/tex]. Trovare massimo e minimo è immediato visto che quella funzione è una parabola ristretta a un compatto.
scusami, poi come calcoli i massimi e minimi non riesci a trovar tutti e 4 i punti così?
Non ho trovato tutti e quattro i punti stazionari vincolati, ma ho trovato direttamente il valore massimo e il valore minimo che la funzione assume su quell'insieme, che è quel che mi interessa.
Se è richiesto di determinare esplicitamente i punti stazionari vincolati, allora studio i punti stazionari della funzione $F(t)=f(\cos t, \sin t)$ per $t \in [0,2\pi]$, ma se lo scopo è soltanto determinare massimo e minimo, posso calcolarlo come voglio.
Se è richiesto di determinare esplicitamente i punti stazionari vincolati, allora studio i punti stazionari della funzione $F(t)=f(\cos t, \sin t)$ per $t \in [0,2\pi]$, ma se lo scopo è soltanto determinare massimo e minimo, posso calcolarlo come voglio.
ah ok, quindi il valor minimo sarebbe il minimo di della parabola mentre il massimo, è l'intersezione tra la parabola e la retta y=2 ?
Sì, la parabola ha minimo nel vertice e massimo a uno dei due estremi. In questo caso, per simmetria, è indifferente se prendi [tex]$-2$[/tex] o [tex]$+2$[/tex].
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