Urgentissimoooo! Problemi con equazioni in campo complesso

[lukine96]

Ciao a tutti. Qualcuno potrebbe spiegarmi come risolvere questa equazione complessa?

[math]2z^4 = i (\overline{z} )^2 |z|[/math]

Grazie mille in anticipo

[mc2]

Scrivi:

[math]z=\rho \,e^{i\varphi}[/math]

, per cui

[math]\overline{z}=\rho \,e^{-i\varphi}[/math]

e

[math]|z|=\rho[/math]

L'equazione data diventa:

[math]2\rho^4\,e^{4i\varphi}=i\rho^2\,e^{-2i\varphi}\,\rho[/math]

che ammette la soluzione

[math]\rho=0[/math]

(cioe` z=0).


Semplificando si ottiene l'altra soluzione:

[math]2\rho\,e^{4i\varphi}=ie^{-2i\varphi}[/math]

[math]\rho\,e^{6i\varphi}=\frac{1}{2}i=\frac{1}{2}\,e^{i\pi/2}[/math]

quindi

[math]\rho=\frac{1}{2}[/math]

,

e

[math]6i\varphi=i\frac{\pi}{2}[/math]

,

[math]\varphi=\pi/12[/math]

la soluzione e` :

[math]z=\frac{1}{2}\,e^{i\pi/12}=\frac{\cos(\pi/12)+i\sin(\pi/12)}{2}[/math]