[URGENTISSIMO]algebra-diagonalizzazione
Se abbiamo un endomorfismo f(x,y,z)che dipende da un parametro t, mi trovo la matrice associata(sottraendo alla matrice dell'endomorfismo, x*
[100
010
001])
la risolvo. quindi mi trovo i possibili valori del parametro t.
-La molteplicità algebrica si vede dall'esponente del polinomio in cui non compare la t, giusto?
-La molteplicità geometrica si ha invece,sottraendo al numero di incognite,rango della atrice che ho trovato prima, sostituendo il valore di t, giusto?
ora se le due molteplicità sono =, gli autovalori sono regolari.
Per essere diagonalizzabile cosa deve succedere praticamente?
Aiutatemi se potete, che domani ho un'esame e questo argomento me lo sono ricordato solo oggi: mi ero preparato a puntino, ma questo me lo ero prorpio dimenticato.
grazie
[100
010
001])
la risolvo. quindi mi trovo i possibili valori del parametro t.
-La molteplicità algebrica si vede dall'esponente del polinomio in cui non compare la t, giusto?
-La molteplicità geometrica si ha invece,sottraendo al numero di incognite,rango della atrice che ho trovato prima, sostituendo il valore di t, giusto?
ora se le due molteplicità sono =, gli autovalori sono regolari.
Per essere diagonalizzabile cosa deve succedere praticamente?
Aiutatemi se potete, che domani ho un'esame e questo argomento me lo sono ricordato solo oggi: mi ero preparato a puntino, ma questo me lo ero prorpio dimenticato.
grazie
Risposte
forse ho capito, se la molteplicità algebrica è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale, non è diagonalizzabile, come pure se il rango della matrice in cui ho sostituito il valore è il max possibile p.e. R^3, ed il rango è 3: la dim è 0.
giuto?
giuto?
mi pare proprio di sì, anche se sono nel pallone più totale...
a proposito, dato che ho un esame a brevissimo tempo (mercoledì, ecco il perchè del pallone) non puoi aiutarmi con la base canonica (il mio post subito precedente al tuo ?)
grazie comunque
a proposito, dato che ho un esame a brevissimo tempo (mercoledì, ecco il perchè del pallone) non puoi aiutarmi con la base canonica (il mio post subito precedente al tuo ?)
grazie comunque
up
Una matrice è diagonalizzabile se e solo se sono soddisfatte le seguenti 2 condizioni:
1) Il polinomio caratteristico della matrice si deve poter fattorizzare completamente in irriducibili di 1° grado;
2) La molteplicità algebrica e la molteplicità geometrica di ciascun autovalore devono essere fra loro uguali.
1) Il polinomio caratteristico della matrice si deve poter fattorizzare completamente in irriducibili di 1° grado;
2) La molteplicità algebrica e la molteplicità geometrica di ciascun autovalore devono essere fra loro uguali.
1)praticamente, su un esercizio, come si traduce?
Ti trovi gli autovalori.
Consideri per ogni autovalore le relative molteplicità algebriche.
Per ogni autovalore ti trovi il relativo sottospazio e, una volta trovati tutti, vedi che dimensione hanno. Se la dimensione geometrica, cioè quella dei vari sottospazi relativi ai vari autovalori, coincide con la molteplicità algebrica, allora la matrice ammette una base di autovettori. Inoltre se si verifica questa eventualità, puoi scrivere la matrice in forma diagonale con i soli autovalori, cioè hai una matrice tutta nulla con i soli autovalori sulla diagonale, per questo si dice che è " diagonalizzabile " o " diagonale ".
Inoltre devi stare attento al campo su cui consideri la matrice, se sei sui reali e ti escono autovalori immaginari, ovviamente la matrice non sarà semplice e quindi non sarà diagonalizzabile.
ok ?
In parole povere, ti trovi ad esempio questi autovalori:
y_1 = 0 con molteplicità algebrica = 2
y_2 = 1 con molteplicità algebrica = 1
allora ti trovi gli autospazi e vedi se quello relativo a y_1 ha molteplicità geometrica = 2 e se quello y_2 ha molteplicità geometrica = 1, se non sono uguali, la matrice non è diagonalizzabile.
Ah... se una matrice è simmetrica, è sempre diagonalizzabile, semplice ed ammette una base di autovettori. Che è simmetrica lo vedi anche ad occhio guardando la matrice...
Spero di non aver sbagliato e di essere stato abbastanza chiaro nella spiegazione...
Consideri per ogni autovalore le relative molteplicità algebriche.
Per ogni autovalore ti trovi il relativo sottospazio e, una volta trovati tutti, vedi che dimensione hanno. Se la dimensione geometrica, cioè quella dei vari sottospazi relativi ai vari autovalori, coincide con la molteplicità algebrica, allora la matrice ammette una base di autovettori. Inoltre se si verifica questa eventualità, puoi scrivere la matrice in forma diagonale con i soli autovalori, cioè hai una matrice tutta nulla con i soli autovalori sulla diagonale, per questo si dice che è " diagonalizzabile " o " diagonale ".
Inoltre devi stare attento al campo su cui consideri la matrice, se sei sui reali e ti escono autovalori immaginari, ovviamente la matrice non sarà semplice e quindi non sarà diagonalizzabile.
ok ?
In parole povere, ti trovi ad esempio questi autovalori:
y_1 = 0 con molteplicità algebrica = 2
y_2 = 1 con molteplicità algebrica = 1
allora ti trovi gli autospazi e vedi se quello relativo a y_1 ha molteplicità geometrica = 2 e se quello y_2 ha molteplicità geometrica = 1, se non sono uguali, la matrice non è diagonalizzabile.
Ah... se una matrice è simmetrica, è sempre diagonalizzabile, semplice ed ammette una base di autovettori. Che è simmetrica lo vedi anche ad occhio guardando la matrice...
Spero di non aver sbagliato e di essere stato abbastanza chiaro nella spiegazione...
se mi scrivi bene il testo dell'esercizio e cosa richiede forse ti riesco ad aiutare (o forse no...)
i passi algoritmici sarebbero questi:
1. trovare gli autovalori y_i della matrice A facendo det|A-yI| = 0;
2. segnare per ogni autovalore la sua molteplicità algebrica;
3. trovare l'autospazio relativo ad ogni autovalore e segnare per ognuno la sua molteplicità geometrica o dimensione;
4. confrontare per ogni sottospazio la molt. geometrica con la molteplicità algebrica del relativo autovalore;
5. Se combaciano ( relativamente alla coppia autovalore/autospazio considerata ) alla la matrice è diagonalizzabile, altrimenti, se anche uno solo di loro non combacia, allora non puoi diagonalizzarla.
6. Se la risposta al caso 5) è positiva puoi riscrivere la matrice con tutti gli elementi nulli tranne sulla diagonale in cui metterai tutti gli autovalori che hai trovato.
7. Se la matrice è simmetrica, alla è diagonalizzabile ed ammette una base di autovettori.
ok ?
1. trovare gli autovalori y_i della matrice A facendo det|A-yI| = 0;
2. segnare per ogni autovalore la sua molteplicità algebrica;
3. trovare l'autospazio relativo ad ogni autovalore e segnare per ognuno la sua molteplicità geometrica o dimensione;
4. confrontare per ogni sottospazio la molt. geometrica con la molteplicità algebrica del relativo autovalore;
5. Se combaciano ( relativamente alla coppia autovalore/autospazio considerata ) alla la matrice è diagonalizzabile, altrimenti, se anche uno solo di loro non combacia, allora non puoi diagonalizzarla.
6. Se la risposta al caso 5) è positiva puoi riscrivere la matrice con tutti gli elementi nulli tranne sulla diagonale in cui metterai tutti gli autovalori che hai trovato.
7. Se la matrice è simmetrica, alla è diagonalizzabile ed ammette una base di autovettori.
ok ?
grazie credo di aver capito, però visto l'orario domattina verso le 9:30 ca., ci ridò un altro sguardo, ma credo di aver trovato la soluzione ai miei dubbi, grazie
ultima cosa ma la molteplicità geometrica è la dimensione del kernel, quindi è la dimensione del sottospazio e quindi in definitiva è la differenza tra numero di incognite e il rango?
Io la molteplicità geometrica la considero come la dimensione dell'autospazio trovato.
Per dimensione si intende il numero di vettori, ovviamente indipendenti, che formano la base di autovettori...
Mi sembra più semplice e comoda da considerare così...
Per dimensione si intende il numero di vettori, ovviamente indipendenti, che formano la base di autovettori...
Mi sembra più semplice e comoda da considerare così...
vabbè quindi il rango...ciao
si... praticamente sarebbe il rango della matrice che consideri di volta in volta 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo