Urgente sintesi su funzione integrale
Salve. Giusto domani sosterrò l'ennesima prova scritta di Analisi 1, e malgrado le esercitazioni online e il parecchio denaro speso in lezioni privati serbo ancora alcuni dubbi, principalmente su queste benedettissime funzioni integrali! Dunque... espongo qui una brevissima scaletta di come procederei nello studio di una generica funzione integrale del tipo $f(x)=\int_{0}^{g(x)} h(x) dx$, e vi supplico gentilmente, se possibile, di ripondere in modo chiaro ed esaustivo. Grazie anticipatamente.
Il testo domanda di:
1. determinare il campo di esistenza;
2. studiarne la derivabilità;
3. calcolarne gli eventuali asintoti.
Io procederei come segue:
1. studio il dominio dell'integraNDA, ovvero $h(x)!=0$;
2. studio la derivabilità ponendo $f'(x)=h(x)*g'(x)$ e conseguentemente mi trovo il dominio di $f'(x)$;
3. trovo gli eventuali asintoti svolgendo i rispettivi limiti.
E' corretto il mio ragionamento? Vi prego di rispondere tempestivamente giacché l'esame è proprio domattina. Grazie infinite a tutti.
Il testo domanda di:
1. determinare il campo di esistenza;
2. studiarne la derivabilità;
3. calcolarne gli eventuali asintoti.
Io procederei come segue:
1. studio il dominio dell'integraNDA, ovvero $h(x)!=0$;
2. studio la derivabilità ponendo $f'(x)=h(x)*g'(x)$ e conseguentemente mi trovo il dominio di $f'(x)$;
3. trovo gli eventuali asintoti svolgendo i rispettivi limiti.
E' corretto il mio ragionamento? Vi prego di rispondere tempestivamente giacché l'esame è proprio domattina. Grazie infinite a tutti.
Risposte
ho un dubbio riguardo il primo punto. Cioè chi ti dice che h(x) sia diversa da 0? Cioè, se h(x) = 0 ==> f(x) = 0 no?? non vorrei sbagliarmi...
"Tycos":
ho un dubbio riguardo il primo punto. Cioè chi ti dice che h(x) sia diversa da 0? Cioè, se h(x) = 0 ==> f(x) = 0 no?? non vorrei sbagliarmi...
Io il dominio l'ho sempre studiato ponendo $h(x)!=0$, in quanto suppongo di dover trovare per quali valori la funzione data risulti positiva o negativa, ma mai nulla!
Che male c'è se una funzione si annulla in un punto o più punti ? Non ha nulla a che fare con la ricerca del dominio della funzione stessa !!!
Se la funzione fosse del tipo razionale fratta allora sì che devi escludere dal dominio i valori che annullano il denominatore della funzione stessa !!!
Se la funzione fosse del tipo razionale fratta allora sì che devi escludere dal dominio i valori che annullano il denominatore della funzione stessa !!!
hai proprio ragione, camillo... grazie per avermici fatto pensare!! 
Qualche osservazione/commento
2) derivabilità :la formula corretta è : $f'(x) = h(g(x))*g'(x) $ ; ad esempio se $f(x) =int_0^sqrt(x) e^(t^2)dt $ si ha che $f'(x)=e^x*1/(2sqrt(x))=e^x/(2sqrt(x))$.
3) asintoti -per verificare se $f(x)$ ha asintoto obliquo, nel caso ovviamente che $f(x)$ diverga a $+-oo$ si deve calcolare
$m = lim_(x rarr +-oo)f(x)/x =lim_(x rarr +-oo)(int_a^x h(t)dt)/t =lim_(x rarr +-oo) h(x ) $ avendo usato la regola di De L'Hopital per l'ultimo passaggio.
Va poi verificato, prima di concludere che esiste asintoto obliquo che $lim_(x rarr +-oo)[f(x)-mx] =q $ esista finito.
2) derivabilità :la formula corretta è : $f'(x) = h(g(x))*g'(x) $ ; ad esempio se $f(x) =int_0^sqrt(x) e^(t^2)dt $ si ha che $f'(x)=e^x*1/(2sqrt(x))=e^x/(2sqrt(x))$.
3) asintoti -per verificare se $f(x)$ ha asintoto obliquo, nel caso ovviamente che $f(x)$ diverga a $+-oo$ si deve calcolare
$m = lim_(x rarr +-oo)f(x)/x =lim_(x rarr +-oo)(int_a^x h(t)dt)/t =lim_(x rarr +-oo) h(x ) $ avendo usato la regola di De L'Hopital per l'ultimo passaggio.
Va poi verificato, prima di concludere che esiste asintoto obliquo che $lim_(x rarr +-oo)[f(x)-mx] =q $ esista finito.
"Camillo":
la formula corretta è : $f'(x) = h(g(x))*g'(x)$
lo so: avevo sbagliato a scrivere io!
"Camillo":
per verificare se $f(x)$ ha asintoto obliquo si deve calcolare $m = lim_(x rarr +-oo)f(x)/x =lim_(x rarr +-oo)(int_a^x h(t)dt)/t =lim_(x rarr +-oo) h(x )$. Va poi verificato che $lim_(x rarr +-oo)[f(x)-mx] =q $ esista finito.
sapevo anke questo: non l'ho specificato appositamente. ti ringrazio per la generosa disponibilità: 6 riuscito a confermare le mie supposizioni, ed era proprio quello di cui avevo disperato bisogno!
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