Urgente: serie numerica
Ciao! Ieri ho dato Analisi 2 e non sono ruscita a finire questo esercizio:
$sum_{n=0}^{\infty} (sqrt( (2n)! ))/(n!) x^n$
Usando il criterio del rapporto si ottiene
$lim_{n \to \infty} sqrt( ((2n+2)!))/sqrt((2n)!) (n!)/((n+1)!) (|x^(n+1)|)/(|x^n|) = lim_{n \to \infty} (sqrt((2n+1)(2n+2)))/(n+1) |x| = 2|x|$
Allora se $|x|>1/2$ la serie non converge
se $|x|<1/2$ la serie converge assolutamente
Mi mancano i 2 casi agli estremi, ovvero x=1/2, x=-1/2.
Qualcuno potrebbe mostrarmi la fine della risoluzione? Grazie!!
Paola
$sum_{n=0}^{\infty} (sqrt( (2n)! ))/(n!) x^n$
Usando il criterio del rapporto si ottiene
$lim_{n \to \infty} sqrt( ((2n+2)!))/sqrt((2n)!) (n!)/((n+1)!) (|x^(n+1)|)/(|x^n|) = lim_{n \to \infty} (sqrt((2n+1)(2n+2)))/(n+1) |x| = 2|x|$
Allora se $|x|>1/2$ la serie non converge
se $|x|<1/2$ la serie converge assolutamente
Mi mancano i 2 casi agli estremi, ovvero x=1/2, x=-1/2.
Qualcuno potrebbe mostrarmi la fine della risoluzione? Grazie!!
Paola
Risposte
Con $x=-1/2$ dovrebbe convergere per il criterio di Liebnitz.
Con $x=1/2$, non vorrei sbagliarmi, ma dovrebbe divergere perchè il limite col criterio del rapporto tende a $1^+$...
Con $x=1/2$, non vorrei sbagliarmi, ma dovrebbe divergere perchè il limite col criterio del rapporto tende a $1^+$...
Mmm... ma se nel criterio del rapporto il limite va ad 1 il criterio è inefficace..! Per questo ho il dubbio, non so che criterio usare!! :S
Mi faresti vedere i passaggi per x=-1/2 ?
Come hai dimostrato la decrrescenza per applicare Leibniz?
Grazie!
Paola
Mi faresti vedere i passaggi per x=-1/2 ?
Come hai dimostrato la decrrescenza per applicare Leibniz?
Grazie!
Paola
Penso che per mostrare la decrescenza
si debba far vedere, detta
$a_n :=sqrt( (2n)! )/(n!) (-1/2)^n
che
$(a_(n+1))/(a_n) < 1$
definitivamente per $n->+oo$,
o anche per ogni $n$ volendo...
si debba far vedere, detta
$a_n :=sqrt( (2n)! )/(n!) (-1/2)^n
che
$(a_(n+1))/(a_n) < 1$
definitivamente per $n->+oo$,
o anche per ogni $n$ volendo...
ehm... avevo scritto un lungo post che poi per errore ho cancellato 
...
cmq concordo con Leibniz e con il metodo di Fireball, ma per $x=1/2$ il limite del rapporto mi pare tenda ad $1^(-)$....
In tal caso puoi usare questo risultato:
siano $a_k$ e $b_k$ due successioni a valori strettamente positivi. Vale:
$a_(k+1)/a_k<=b_(k+1)/b_k=>a_k<=a_0/b_0 b_k$
che si dimostra osservando che $a_k/b_k$ è decrescente.
Usando questo risultato come seconda serie scegli la tua, e come prima la serie armonica. Così trovi la divergenza per $x=1/2$.
Il ris che ho mostrato è carino (e utile secondo me), in quanto permette di confrontare il comportamento di due serie a partire da come sono legati il rapporto di due termini consecutivi.
Alternativamente puoi usare l'approssimazione di Stirling per il fattoriale...
...cmq concordo con Leibniz e con il metodo di Fireball, ma per $x=1/2$ il limite del rapporto mi pare tenda ad $1^(-)$....
In tal caso puoi usare questo risultato:
siano $a_k$ e $b_k$ due successioni a valori strettamente positivi. Vale:
$a_(k+1)/a_k<=b_(k+1)/b_k=>a_k<=a_0/b_0 b_k$
che si dimostra osservando che $a_k/b_k$ è decrescente.
Usando questo risultato come seconda serie scegli la tua, e come prima la serie armonica. Così trovi la divergenza per $x=1/2$.
Il ris che ho mostrato è carino (e utile secondo me), in quanto permette di confrontare il comportamento di due serie a partire da come sono legati il rapporto di due termini consecutivi.
Alternativamente puoi usare l'approssimazione di Stirling per il fattoriale...
Si ho sbagliato non è $1^+$.... comunque se il limite fosse stato $1^+$ il criterio del rapporto ci avrebbe dato la divergenza. Il criterio è inefficace se il limite è $1^-$.
La serie…
$sum_(n=0)^(+oo) (sqrt( (2n)! ))/(n!) x^n$ (1)
… per $x=1/2$ e $x=-1/2$ diviene rispettivamente
$sum_(n=0)^(+oo) a_n$ (2)
$sum_(n=0)^(+oo) (-1)^na_n$ (3)
… e in entrambi i casi è…
$a_n=(sqrt((2n)!))/(n!*2^n)$ (4)
Applicando l’approssimazione di Stirling per i ‘fattoriali dei grandi numeri’…
$ln n!$ -> $(n+1/2)*ln n – n – ln sqrt(2pi)$ (5)
… si ottiene [con un poco di pazienza] …
$ln a_n$ -> $½*[(2n+1/2)*ln (2n) –2n –ln sqrt(2pi)] – (n+1/2)*ln n +n + ln sqrt (2*pi)-n*ln 2=$
$= -1/4*ln n +1/4*ln 2 + ½* ln sqrt(2pi)$ (6)
Ne consegue che…
$lim_(n->+oo) ln a_n = -oo$ -> $lim_(n->+oo) a_n= 0$ (7)
… per cui la serie (3), essendo a segni alterni, è convergente. Con ciò è risolto $x=-1/2$. Per $x=1/2$ bisogna che ci lavori ancora un poco. Certo non si tratta di una banalità…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$sum_(n=0)^(+oo) (sqrt( (2n)! ))/(n!) x^n$ (1)
… per $x=1/2$ e $x=-1/2$ diviene rispettivamente
$sum_(n=0)^(+oo) a_n$ (2)
$sum_(n=0)^(+oo) (-1)^na_n$ (3)
… e in entrambi i casi è…
$a_n=(sqrt((2n)!))/(n!*2^n)$ (4)
Applicando l’approssimazione di Stirling per i ‘fattoriali dei grandi numeri’…
$ln n!$ -> $(n+1/2)*ln n – n – ln sqrt(2pi)$ (5)
… si ottiene [con un poco di pazienza] …
$ln a_n$ -> $½*[(2n+1/2)*ln (2n) –2n –ln sqrt(2pi)] – (n+1/2)*ln n +n + ln sqrt (2*pi)-n*ln 2=$
$= -1/4*ln n +1/4*ln 2 + ½* ln sqrt(2pi)$ (6)
Ne consegue che…
$lim_(n->+oo) ln a_n = -oo$ -> $lim_(n->+oo) a_n= 0$ (7)
… per cui la serie (3), essendo a segni alterni, è convergente. Con ciò è risolto $x=-1/2$. Per $x=1/2$ bisogna che ci lavori ancora un poco. Certo non si tratta di una banalità…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
lupo_grigio... ma hai letto il mio post sopra? 
... o anche quello di Fireball ? 
(a proposito, nel post di fire mancano un pò di moduli: l'idea cmq è chiara!)
e volendo usare Stirling, perchè non usarlo direttamente nella forma che dà $n!$ invece di $log n!$???
... o anche quello di Fireball ? (a proposito, nel post di fire mancano un pò di moduli: l'idea cmq è chiara!)e volendo usare Stirling, perchè non usarlo direttamente nella forma che dà $n!$ invece di $log n!$???
Dato il contesto in cui l'esercizio era immerso (compito di analisi 2, se ho ben capito) non credo fosse necessario ricorrere a Stirling. Anche per il caso $x=1/2$ non credo si debba andare molto lontano, anche se per ora soluzioni a vista d'occhio non ne ho trovate.
Prima domanda di Thomas...
lupo grigio... ma hai letto il mio post sopra?... o anche quello di Fireball?...
Prima risposta di lupo grigio...
affermativo!... ho letto sia il post tuo sia il post di di Fireball... Il fatto è che la condizione sufficiente affinchè una serie a termini alterni del tipo...
$sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n a_n$ (1)
... sia convergente è che la successione delle $a_n$ tenda a zero con $n$ ed non che sia 'decrescente', vale a dire che sia...
$|a_(n+1)|/|a_n|<1$ (2)
... per tutte le $n$...
Seconda domanda di Thomas...
... e volendo usare Stirling, perchè non usarlo direttamente nella forma che dà $n!$ invece di $log n!$???...
Seconda risposta di lupo grigio...
... perchè?... mah!... forse perchè con le somme mi trovo meglio che con le moltiplicazioni...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
lupo grigio... ma hai letto il mio post sopra?... o anche quello di Fireball?...
Prima risposta di lupo grigio...
affermativo!... ho letto sia il post tuo sia il post di di Fireball... Il fatto è che la condizione sufficiente affinchè una serie a termini alterni del tipo...
$sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n a_n$ (1)
... sia convergente è che la successione delle $a_n$ tenda a zero con $n$ ed non che sia 'decrescente', vale a dire che sia...
$|a_(n+1)|/|a_n|<1$ (2)
... per tutte le $n$...
Seconda domanda di Thomas...
... e volendo usare Stirling, perchè non usarlo direttamente nella forma che dà $n!$ invece di $log n!$???...
Seconda risposta di lupo grigio...
... perchè?... mah!... forse perchè con le somme mi trovo meglio che con le moltiplicazioni...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
@lupogrigio: Leibniz le vuole anche decrescenti... ne sono abb sicuro... controlla... poi sul fatto che nè io che Fireball abbiamo controllato che vada a 0 la successione è vero...
quindi che sia infinitesima è sicuramente da verificare, ma è condizione necessaria ma non sufficiente. Basta che consideri per esempio la serie partendo da 1 $a_n$:
$a_n=-1/k$ se $n=2k$
$a_n=2/k$ se $n=2k-1$
che è infinitesima, a segni alterni, e divergente.
In ogni caso, la soluzione per il caso $x=1/2$ a me pare di averla data.... non vi concince o cosa: se volete la scrivo bene. Applicando il lemmino:
$(sqrt((2n+1)(2n+2)))/(2(n+1))>=(2n+1)/(2n+2)>=(2n)/(2n+2)=n/(n+1)$
da cui il confronto con la serie armonica....
quindi che sia infinitesima è sicuramente da verificare, ma è condizione necessaria ma non sufficiente. Basta che consideri per esempio la serie partendo da 1 $a_n$:
$a_n=-1/k$ se $n=2k$
$a_n=2/k$ se $n=2k-1$
che è infinitesima, a segni alterni, e divergente.
In ogni caso, la soluzione per il caso $x=1/2$ a me pare di averla data.... non vi concince o cosa: se volete la scrivo bene. Applicando il lemmino:
$(sqrt((2n+1)(2n+2)))/(2(n+1))>=(2n+1)/(2n+2)>=(2n)/(2n+2)=n/(n+1)$
da cui il confronto con la serie armonica....
Sì sì, hai ragione tu, Leibniz le vuole anche decrescenti...
Per quello che riguarda le serie a termini alterni in effetti il criterio di convergenza afferma che le $a_n$ devono costituire una successione non crescente e tendente a zero...
Per qunto riguarda invece le considerazioni riguardo l'andamento del rapporto $delta_n=a_(n+1)/a_n$ in una serie a termini positivi, se per due serie si verifica la condizione...
$lim_(n->+oo) delta_n= 1$ (1)
... il criterio stesso è inefficace per entrambe le serie e pertanto il confronto delle $delta_n$ delle due non permette di concludere che se la prima è divergente lo è anche la seconda... a meno che naturalmente non si dimostri che è così sempre...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Per qunto riguarda invece le considerazioni riguardo l'andamento del rapporto $delta_n=a_(n+1)/a_n$ in una serie a termini positivi, se per due serie si verifica la condizione...
$lim_(n->+oo) delta_n= 1$ (1)
... il criterio stesso è inefficace per entrambe le serie e pertanto il confronto delle $delta_n$ delle due non permette di concludere che se la prima è divergente lo è anche la seconda... a meno che naturalmente non si dimostri che è così sempre...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
lupo_grigio non capisco cosa stai dicendo... ti chiedo di rileggere il mio primo post e dire cosa non ti è chiaro... in quel post si vede che dal confronto del rapporto tra termini consecutivi si ha un confronto dei termini delle serie (tra loro multipli in effetti ma questo è indifferente per capirne il comportamento)
non dico di avere ragione (probabilmente mi sbaglio), ma almeno cerca di essere preciso nelle tue obiezioni
non dico di avere ragione (probabilmente mi sbaglio), ma almeno cerca di essere preciso nelle tue obiezioni
Ho letto le vostre risposte e vi ringrazio molto.. Ieri ho fatto l'orale ed è andato benissimo!!
Mi ha chiesto proprio questa cosa (ero la 10° e l'ha chiesto proprio a me!!
) e grazie ai vostri post ho saputo rispondere!!
Grazie!!
Paola
Mi ha chiesto proprio questa cosa (ero la 10° e l'ha chiesto proprio a me!!
) e grazie ai vostri post ho saputo rispondere!!Grazie!!
Paola
Per quanto riguarda il quesito posto da prime_number, applicando l’approssimazione di Stirling è agevole dimostrare che la serie…
$sum_(n=0)^(+oo) sqrt((2n)!)/(n!*2^n)$ (1)
… è divergente. Rivedendo infatti la relazione trovata ieri …
$ln a_n$ -> $ -1/4 ln n +1/4ln 2 + 1/2*ln sqrt(2pi)$ (2)
… si vede chiaramente che il termine generale della (1) và a $0$ come $n^(-1/4)$ e quindi non solo la (1) diverge, ma diverge ‘alla grande’. A questo risultato potevo arrivare senza fatica già ieri e non so perché così non è stato. Si vede che ieri il vecchio lupo era proprio ‘grog’ 
…
Quanto alle ‘osservazioni’ di Thomas, non sarebbe cosa sbagliata, prima di criticare la ‘precisione’ altrui, aver cura di essere ‘precisi’ a propria volta. Tanto per cominciare, riportando letteralmente la formula da lui postata la prima volta…
$a_(k+1)/a_k<=b_(k+1)/b_k$ ->$a_k<=a_0/b_0b_k$ (3)
… si deve ben ammettere che qualcosa non torna, almeno negli indici. La procedura ‘corretta’ infatti sarebbe la seguente…
$a_(k+1)/a_k<=b_(k+1)/b_k$ ->$a_k/b_k>=a_(k+1)/b_(k+1)$ (4)
… la quale, almeno così pare a me, non conduce direttamente alla (3). Certamente questa è una ‘sfumatura’ e se fosse solo per questo… vabbeh… Il guaio è che dopo il nostro amico si imbatte poi in un ‘errore’ piuttosto gravuccio, anche se [fortunatamente…] senza gravi conseguenze per lui. Allorché infatti scrive…
$(sqrt((2n+1)(2n+2)))/(2(n+1))>=(2n+1)/(2n+2)>=(2n)/(2n+2)=n/(n+1)$
da cui il confronto con la serie armonica...
… non si rende [probabilmente] conto che la ‘serie armonica’ con la quale fare il confronto non è quella ‘solita’. Dal momento infatti che la serie propostaci da prime_number era della forma $sum_(n=0)^(+oo) b_n$ , cioè con l’indice $n$ che inizia da zero, il ‘confronto’ andrebbe fatto con la serie seguente…
$sum_(n=0)^(+oo) a_n= sum_(n=0)^(+oo) 1/(n+1)$ (5)
… per la quale è…
$a_n/a_(n+1)= (n+1)/(n+2) ne n/(n+1)$ (6)
Alla fine per la verità la maggiorazione è ancora valida, solo che la verifica è un poco più laboriosa e non certo immediata…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$sum_(n=0)^(+oo) sqrt((2n)!)/(n!*2^n)$ (1)
… è divergente. Rivedendo infatti la relazione trovata ieri …
$ln a_n$ -> $ -1/4 ln n +1/4ln 2 + 1/2*ln sqrt(2pi)$ (2)
… si vede chiaramente che il termine generale della (1) và a $0$ come $n^(-1/4)$ e quindi non solo la (1) diverge, ma diverge ‘alla grande’. A questo risultato potevo arrivare senza fatica già ieri e non so perché così non è stato. Si vede che ieri il vecchio lupo era proprio ‘grog’
… Quanto alle ‘osservazioni’ di Thomas, non sarebbe cosa sbagliata, prima di criticare la ‘precisione’ altrui, aver cura di essere ‘precisi’ a propria volta. Tanto per cominciare, riportando letteralmente la formula da lui postata la prima volta…
$a_(k+1)/a_k<=b_(k+1)/b_k$ ->$a_k<=a_0/b_0b_k$ (3)
… si deve ben ammettere che qualcosa non torna, almeno negli indici. La procedura ‘corretta’ infatti sarebbe la seguente…
$a_(k+1)/a_k<=b_(k+1)/b_k$ ->$a_k/b_k>=a_(k+1)/b_(k+1)$ (4)
… la quale, almeno così pare a me, non conduce direttamente alla (3). Certamente questa è una ‘sfumatura’ e se fosse solo per questo… vabbeh… Il guaio è che dopo il nostro amico si imbatte poi in un ‘errore’ piuttosto gravuccio, anche se [fortunatamente…] senza gravi conseguenze per lui. Allorché infatti scrive…
$(sqrt((2n+1)(2n+2)))/(2(n+1))>=(2n+1)/(2n+2)>=(2n)/(2n+2)=n/(n+1)$
da cui il confronto con la serie armonica...
… non si rende [probabilmente] conto che la ‘serie armonica’ con la quale fare il confronto non è quella ‘solita’. Dal momento infatti che la serie propostaci da prime_number era della forma $sum_(n=0)^(+oo) b_n$ , cioè con l’indice $n$ che inizia da zero, il ‘confronto’ andrebbe fatto con la serie seguente…
$sum_(n=0)^(+oo) a_n= sum_(n=0)^(+oo) 1/(n+1)$ (5)
… per la quale è…
$a_n/a_(n+1)= (n+1)/(n+2) ne n/(n+1)$ (6)
Alla fine per la verità la maggiorazione è ancora valida, solo che la verifica è un poco più laboriosa e non certo immediata…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"lupo grigio":
Quanto alle ‘osservazioni’ di Thomas, non sarebbe cosa sbagliata, prima di criticare la ‘precisione’ altrui, aver cura di essere ‘precisi’ a propria volta. Tanto per cominciare, riportando letteralmente la formula da lui postata la prima volta…
$a_(k+1)/a_k<=b_(k+1)/b_k$ ->$a_k<=a_0/b_0b_k$ (3)
… si deve ben ammettere che qualcosa non torna, almeno negli indici. La procedura ‘corretta’ infatti sarebbe la seguente…
$a_(k+1)/a_k<=b_(k+1)/b_k$ ->$a_k/b_k>=a_(k+1)/b_(k+1)$ (4)
… la quale, almeno così pare a me, non conduce direttamente alla (3). Certamente questa è una ‘sfumatura’ e se fosse solo per questo… vabbeh…
è un lemmino, non ho detto che ho fatto la dimostrazione. Però ho indicato che $c_k=a_k/b_k$ è decrescente proprio in virtù della (4), da cui $c_0>=c_n$ e quindi $a_0/b_0>=a_n/b_n$, che è la (3)... (ho cambiato gli indici)...
"lupo grigio":
Il guaio è che dopo il nostro amico si imbatte poi in un ‘errore’ piuttosto gravuccio, anche se [fortunatamente…] senza gravi conseguenze per lui. Allorché infatti scrive…
$(sqrt((2n+1)(2n+2)))/(2(n+1))>=(2n+1)/(2n+2)>=(2n)/(2n+2)=n/(n+1)$
da cui il confronto con la serie armonica...
… non si rende [probabilmente] conto che la ‘serie armonica’ con la quale fare il confronto non è quella ‘solita’. Dal momento infatti che la serie propostaci da prime_number era della forma $sum_(n=0)^(+oo) b_n$ , cioè con l’indice $n$ che inizia da zero, il ‘confronto’ andrebbe fatto con la serie seguente…
$sum_(n=0)^(+oo) a_n= sum_(n=0)^(+oo) 1/(n+1)$ (5)
… per la quale è…
$a_n/a_(n+1)= (n+1)/(n+2) ne n/(n+1)$ (6)
Alla fine per la verità la maggiorazione è ancora valida, solo che la verifica è un poco più laboriosa e non certo immediata…
perchè dovrei fare confronto con quella serie?... non capisco... il fatto che la serie cominici dall'indice 0 o da 1 non cambia nulla per il comportamento della serie... anche se potre sbagliarmi... prima non gli ho dato peso a questo fatto... in ogni caso se ti dà fastidio che nel lemmino c'è uno zero, puoi metterci un uno, non è che cambia nulla...
in ogni caso, in quanto a precisione io non sono certo una cima, non è che... ma più che "precisione" in quanto esattezza o chiarezza io mi riferivo alla precisione come "metodo": mi davi l'impressione di non aver nemmento letto i post precedenti!
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